5．5正弦定理、余弦定理
要点透视：
1．正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形公式．
（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R
（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．
可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中的边角关系转化，如常把a，b，c换成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C来解题．
2．判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断．
3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式
BCAsin( B＋C)＝sinA，cos (B＋C)=－sinA，sin＝cos等，进行三角变换的运2
2用．
4．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应选用正弦定理还是余弦定理进行求解．
5．应用解三角形知识解实际问题的解题步骤：
（1）根据题意画出示意图．
（2）确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和末知元．
（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性．
（4）给出答案．
活题精析：
例1．( 2001年全国卷)已知圆内接四边形ABCD的边长是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四边形ABCD的面积．
要点精析：本题主要考查三角函数的基础知识，以及应用三角形面积公式和余弦定理解三角形的方法，考查应用数学知识分析、解决实际问题的能力．
解：如图所示，连BD，四边形ABCD的面积
11S=SABDSCDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC， 2
21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2
222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．
在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．
213又cosA=－cosC, cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232
3∴ S=16×=8.2
例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对
边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。
要点精析：（1）∵ a，b，c成等差数列，∴ b2=ac．
又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得
b2c2a21cosA==．∴ A=60°； 22bc
bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=， a
bsinBb2sin6032∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2
11解法2.在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac， 22
bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2
例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边， S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．
13要点精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22
又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，当∠C=60°时，c2＝a2＋b2－ab，c
当∠C=120°时，c2=a2＋b2＋ab，c
，∴ c
.练习题
一、选择题
tanAa
21．在△ABC中，若，则△ABC是（） tanBb2
A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
ABab2．在△ABC中，tan，则三角形中（） 2ab
A．a＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b
2cD．a=b或c2=a2+b2
3．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）
33A．20(1+)mB．20(1+)m 32
C．20(1+)mD．30m
4．设α，β是钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（）
1A．tanαtanβ1D．tan(α+β)
5．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）C．a=b=
A．1
C．0
56．△ABC的三边分别为 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），则最大内角的度数为（）
A．150°B．120°C．90°D．135°
二、填空题：
abc7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，则 sinAsinBsinC
1138．△ABC的三边满足：，则∠B＝ abbcabc
4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，则sinC的值是.51
310．在△ABC中，BC边上的中线长是ma，用三边a，b，c表示ma，其公式是.三、解答题
11．设a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，当m>0时，关于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－
ax=0有两个相等实根，且sinCcosA－cosCsinA=0，试判断△ABC的形状。
12．已知⊙O的半径为R，若它的内接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大小；
（2）求△ABC的面积S的最大值．
13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．
（1）试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式；
（2）当a等于多少时，S有最大值并求出最大值；
（3）当a等于多少时，周长l有最小值并未出最小值．
14．在△ABC中，已知面积S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值．
CCCC15．在△ABC中，m(cos,sin)，n(cos,sin)，且m与n的夹角是． 22222
（1）求C；
73（2）已知c=，三角形面积 S＝3，求a+b。 22
高中数学 §1 正弦定理与余弦定理(1.2)教案 北师大版必修5
