§1正弦定理、余弦定理
教学目的:
⑴使学生掌握正弦定理 教学重点:正弦定理
教学难点:正弦定理的正确理解和熟练运用
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、引言:在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,
——提出课题:正弦定理、余弦定理
二、讲解新课:
正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即abc== =2R(R为△ABC外接圆半径) sinAsinBsinC
ab ,sinB=, sinC=1cc 1.直角三角形中:sinA=
即c=abcabc, c= ,c=. ∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC
2.斜三角形中
111证明一:(等积法)在任意斜△ABC当中S△ABC=absinCacsinBbcsinA 22
21abc 两边同除以abc即得:== 2sinAsinBsinC证明二:(外接圆法) 如图所示,∠A=∠D∴
同理 aaCD2R sinAsinDbc=2R,=2R sinBsinC证明三:(向量法)
过A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB
两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB
则•+•=•
∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)
∴asinCcsinA∴
ac
= sinAsinC
sinC
sinB
sinA
sinB
sinC
cbabc
同理,若过C作j垂直于CB得: =∴==
正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题:1.两角和任意一边,求其它两边和一角;
2已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: ⑴若A为锐角时:
无解absinA
一解(直角)absinA
bsinAab二解(一锐, 一钝)
ab一解(锐角)
已知边a,b和A
a
无解
a=CH=bsinA仅有一个解
CH=bsinA
ab无解
⑵若A为直角或钝角时:
ab一解(锐角)
三、讲解范例:
例1 已知在ABC中,c10,A45,C30,求a,b和B 解:c10,A45,C30∴B180(AC)10
5accsinA10sin450
2 由 得 a0
sinAsinCsinCsin30
由
bc
得 sinBsinC
csinB10sin1050620b20sin75205652 0
sinC4sin30
例2 在ABC中,b3,B600,c1,求a和A,C
bccsinB1sin6001解:∵,sinC
sinBsinCb2bc,B600,CB,C为锐角,C300,B900
∴ab2c2
2例3 ABC中,c6,A450,a2,求b和B,C
accsinA6sin450解: ,sinC
sinAsinCa22
csinAac,C600或1200
csinB6sin750
当C60时,B75,b31,
sinCsin600
csinB6sin150
当C120时,B15,b1 0
sinCsin60
b1,B750,C600或b31,B150,C1200
(2010广东理数)11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若
则sinC=
解:由A+C=2B及A+ B+ C=180°知,B =60°.
由正弦定理知,
1,sinA
3即sinA
12
.由ab知,AB60,则A30
, C180AB180306090,sinCsin90
1四、课堂练习:
asinAABC中,
bsinBc
sinC
k,则k为() RRR(R为△ABC外接圆半径)
ABC中,sin2A=sin2B+sin
2C,则△ABC为()
ABCcos2A中,求证:
a2cos2Bb21
1a2b
参考答案:,
bsinBsinAasinBb(sinAa)2(sinBb
)2
sin2Aa2sin2B
1cos2Ab
a21cos2Bb2
cos2Acosa22Bb21a21
b2
五、小结正弦定理,两种应用
六、课后作业: sinAABC中,已知
sinCsin(AB)sin(BC)
,求证:a2,b2,c
2证明:由已知得sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)·sin(A-B)
cos2B-cos2C=cos2A-cos2B2cos2B=cos2A+cos2C
2
1cos2B1cos2A1cos2B2222
∴2sinB=sin2A+sin2
C由正弦定理可得2b2
=a2
+c2
即a2,b2,c2
七、板书设计(略)
八、课后记:
第二课时:教材P46页例
1、例
2、例3