极限的四则运算函数的连续性
极限的四则运算，函数的连续性
二.教学重、难点： 1.函数在一点处连续
2.函数在开区间，闭区间上连续 3.连续函数的性质
（1）若与在处连续，则，，（）在处也连续。
（2）最大、最小值，若是[]上的连续函数，那么在上有最大值和最小值，最值可在端点处取得，也可以在内取得。
【典型例题】 [例1] 求下列极限 （1） （2） （3） （4） 解： （1）原式 （2）原式
（3）原式
（4）原式
[例2] 求下列各数列的极限 （1） （2） （3） 解： （1）原式 （2）原式 （3）原式
[例3] 已知数列是正数构成的数列，，且满足，其中是大于1的整数，是正数。
（1）求的通项公式及前项和； （2）求的值。 解：
（1）由已知得
∴ 是公比为的等比数列，则
（2） ① 当时，原式 ② 当时，原式 ③ 当时，原式
[例4] 判定下列函数在给定点处是否连续。 （1）在处； （2），在处。 解： （1），但
故函数在处不连续 （2）函数在处有定义，但 ，即
故不存在，所以函数在点处不连续。
[例5] 已知函数，试求： （1）的定义域，并画出的图象； （2）求，，；
（3）在哪些点处不连续。 解：
（1）当，即时， 当时，不存在 当时， 当时，即或时， ∴
∴ 定义域为（）（），图象如图所示
（2）
∴ 不存在
（3）在及处不连续
∵ 在处无意义 时，
即不存在
∴ 在及处不连续
[例6] 证明方程至少有一个小于1的正根。 证明：令，则在（0，1）上连续，且当时，。 时，
∴ 在（0，1）内至少有一个，使
即：至少有一个，满足且，所以方程至少有一个小于1的正根。
[例7] 函数在区间（0，2）上是否连续？在区间[0，2]上呢？ 解：（且） 任取，则
∴ 在（0，2）内连续，但在处无定义 ∴ 在处不连续，从而在[0，2]上不连续
[例8] 假设，在上不连续，求的取值范围。
解：若函数，在上连续，由函数在点处连续的定义， 必有，因为，
，所以，所以，若不连续，则且。
[例9] 设
（1）若在处的极限存在，求的值； （2）若在处连续，求的值。 解：
（1），，因为在处极限存在，所以，所以，即 （2）因为在处连续，所以在处的极限存在，且 ，由（1）知，且，又，所以。
【模拟试题】 一.选择题：
1.已知，则下列结论正确的是（
）
A.
B.不存在
C.=1
D.= 2.的值为（
）
A.5
B.4
C.7
D.0 3.的值为（
）
A.1
B.0
C.
D. 4.的值为（
）
A.
B.
C.1
D. 5.若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
6.若在上处处连续，则常数等于（
）
A.0
B.1
C.2
D. 7.在点处连续是在点处连续的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.的不连续点是（
）
A.无不连续点
B.
C.
D.
二.解答题： 1.求下列极限：
（1）
（2）
（3） 2.为常数，1，求。
3.已知
（1）在处是否连续？说明理由； （2）讨论在和上的连续性。
【试题答案】 一.1.B
2.C
3.C D
二.1.解： （1） （2）
① 当时，
∴
② 当时，
∴
③ 当时， （3） 2.解：∵
∴
∴ ，
4.B
5.C
6.C
7.A
8.
3.解：
（1）∵ ，则
∴
∵ ，且
∴
∵
∴ 不存在
∴ 在处不连续 （2）∵
∴ 在上是不连续函数 ∵
∴ 在上是连续函数。
