中国人发现了大乘法口诀
人人都知道有个乘法口诀表，有人把它叫做小九九，意思是说小乘法口诀。那么，有小乘法口诀，必然有大乘法口诀。
什么是大乘法口诀呢？小乘法口诀讲的是数字与数字之间相乘的结果，大乘法口诀讲的是数列与数列之间相乘的结果。该文共讲三个方面：乘法口诀的对应关系，乘法口诀的逻辑推理，乘法口诀的应运。
一、乘法口诀的对应关系
比如说，我们以2*3*5=30为公差，以30以内不能被组成公差的素因子2，3，5分别整除的数为首项，可以组成8个等差数列：1+30N，7+30N，11+30N，13+30N，17+30N，19+30N，23+30N，29+30N，那么，这8个数列之间的相乘关系是怎样的呢？
大乘口诀：已知等差数列为A+BN，任意取一个其它数列中的数，如11，令11A/B余数为C，那么，等差数列（A+BN）*（11+BN）→C+BN中的数。意思是说：A+BN数列的数乘以11+BN数列的数，乘积为C+BN数列的数。按照除法是乘法的逆运算，反过来C+BN数列的合数不一定都能被11+BN数列的数整除，如果C+BN数列的合数能够被11+BN数列中的数整除，那么，其商必然是A+BN数列中的数。
如：等差数列（1+30N）*7，因为，1*7/30=7，所以，（1+30N）*（7+30N）→7+30N。反过来， 7+30N数列的合数，如果能被7+30N数列的数整除，其商必然是1+30N数列中的数；7+30N数列的合数，如果能被1+30N数列中的数整除，其商必然是7+30N数列中的数。
又如：等差数列（7+30N）*11，因为，7*11/30余17，所以，（7+30N）*（11+30N）→17+30N。反过来， 17+30N数列的合数，如果能被7+30N数列的数整除，其商必然是11+30N数列中的数；17+30N数列的合数，如果能被11+30N数列的数整除，其商必然是7+30N数列中的数。 这里所取的乘数
7、11只是两个数列中的代表数，我们知道7+30N数列的数有：7，37，67，97，127，……等等，11+30N数列的数有：11，41，71，101，131，……等等，而1+30N数列的数有：1，31，61，91，121，……等等。
如（7+30N）*（11+30N）：7*11=77，37*11=407，67*11=737，97*11=1067，127*11=1397，7*41=287，37*41=1517，，67*41=2747，97*41=3977，127*41=5207，7*71497，，37*71=2627，67*71=4757，97*71=6887，127*71=9017，7*101=707，37*101=3737，67*101=6767，97*101=9797，127*101=12827，7*131=917，37*131=4847，67*131=8777，97*131=12707，127*131=16637，这些乘积全部是等差数列17+30N中的数。
请看下面数列乘法对应参数表，它们的对应关系都是唯一的。 参数1， 7，11，13，17，19，23，29 1， 1， 7， 7，19， 11，11，17，1， 13，13，1，23，19， 17，17，29，7，11，19， 19，19，13，29，7，23，1， 23，23，11，13，29，1，17，19， 29，29，23，19，17，13，11，7，1．
再看素因子
2、3删除后的剩余数列为1+6N和5+6N，它们的对应表，对应关系也是唯一的： 参数1，5 1， 1， 5， 5，1。 我们知道：素因子2在自然数中，删除2的倍数的数后，剩余的数全部是奇数，奇数可以用1+2N表示，这里的首项为1，公差为2，那么，我们任意取一个奇数7，有1*7/2余1，即告诉我们（1+2N）*（1+2N）→1+2N，表示1+2N数列中的数乘以1+2N数列中的数，积永远是1+2N数列中的数。
当我们以2*3*5*7=210为公差，以210内不能分别被素因子2，3，5，7整除的48个数为首项，组成48个等差数列，这48个等差数列的乘积仍然是一一对应的；我们以2*3*5*7*11=2310为公差，以2310内不能分别被素因子2，3，5，7，11整除的480个数为首项，组成480个等差数列，这480个等差数列的乘积仍然是一一对应的；…，只不过篇幅太大无法传输。
大公差的等差数列，是小公差的等差数列发展起来的，它们的对应关系从发展的角度上看，是可以放大；反过来，从大公差的等差数列返回小公差的等差数列，它们的对应关系又是可以收缩的。
那么，1+2N数列中的数乘以偶数2+2N数列中的数呢？我们任意取2+2N数列中的一个数6，有1*6/2可以看为余数为0，也可以看为余数为2，即（1+2N）*（2+2N）→2+2N，告诉我们奇数*偶数永远得偶数。这里又告诉我们一个不回避的事实，当合数数列参与时又发生了一定的变化，如（1+2N）*（2+2N）→2+2N；（2+2N）*（2+2N）→2+2N。反过来说，（2+2N）/（2+2N）或者等于2+2N，或者等于1+2N。（2+2N）/（1+2N）→2+2N。
话又说回来，我们前面所说的前提是：不能被组成公差的素因子分别整除的数为首项，即能产生素数的数列。而首项能被组成公差的素因子整除的数列为纯合数数列，应该排除在这种大乘公式之外哈。
二、乘法口诀的逻辑推理
数学是研究数字与数字之间的关系的一门学科。我们不仅对素数要作研究和探讨，而且，对于合数我们也应该进行相应的探讨。不能重素数，轻合数。这里所说的大乘口诀，就是对合数探讨的一个方面。 说它是乘法口诀，那么，必须具备两个要素：乘数与被乘数相乘，其积是唯一的；既然作为口诀，那么，其理论必然有成立的证明依据，而不是只凭表面现象而得出结论。
1、现象
我们从上面，以公差为30的8个等差数列的相乘对应表中，可以查出：这些数列与数列相乘的乘积，它们的对应关系是完全一一对应的。比如说等差数列17+30N分别乘以这8个数列的乘积对应关系是：（17+30N）*（1+30N）→17+30N，（17+30N）*（7+30N）→29+30N，（17+30N）*（11+30N）→7+30N，（17+30N）*（13+30N）→11+30N，（17+30N）*（17+30N）→19+30N，（17+30N）*（19+30N）→23+30N，（17+30N）*（23+30N）→1+30N，（17+30N）*（29+30N）→13+30N。这说明：两个数列相乘，其乘积必然为某一个数列中的合数。
反过来，我们也可以查出：积与除数和商的关系，它们也是一一对应的，比如，我们以19+30N为积，固定被除数数列，在表中查除数与商的数列，它们的对应关系为：（19+30N）/（1+30N）→19+30N，（19+30N）/（7+30N）→7+30N，（19+30N）/（11+30N）→29+30N，（19+30N）/（13+30N）→13+30N，（19+30N）/（17+30N）→17+30N，（19+30N）/（19+30N）→1+30N，（19+30N）/（23+30N）→23+30N，（19+30N）/（29+30N）→11+30N。这里说明：一个固定的数列中的合数，可以被多个数列整除，如果该数列中的合数能够被A数列中的数整除时，其商必然为B数列中的数，数列与数列相除，它们的商是固定的，即唯一的。
2、证明
我们大家都知道：二数和的乘法公式为，（AX+C）*（BX+D）=ABX*X+（AD+BC）X+CD。式中的X为30，ABX*X+（AD+BC）X都是能够被30整除的数，只有CD之积不能被30整除，不论您取这两个数列中的任意项中的数相乘，ABX*X+（AD+BC）X都是能够被30整除的数，CD之乘积都是固定不变的，而CD之积除以30的余数也是固定的，其余数固定为公差为30的某一个数列的首项，即两个数列的乘积为某一个数列中的合数是固定不变的。如果说，我们把式中的X换成210或2310，该说法都是成立的。
证明的第二步，因为，任意数F，如果它能被X整除的条件是：F必须是X的倍数的数字，当式中的C和D都是不能被X整除时，即C和D都不是X倍数的数，故，CD必然不能被X整除，（CD）/X之余数也不能被X整除；如果说，我们把X按组成X的素因子，再分解为以素因子S为公差的等差数列，其首项仍然不能被S整除，以素因子为S的等差数列之乘积，同样的道理，不能被素因子S整除的两个数列之乘积，同样不能被S整除。即CD之积，不仅不能被X整除，也不能被X所分解出来的素因子整除。所以，对于等差数列的首项不能被X整除，也不能被X分解出来的素因子整除的两个等差数列的乘积所组成的等差数列，的每一项既不能被公差X整除，也不能被X所分解出来的素因子整除，所以，它必然为不能被X所分解出来的所有素因子整除的等差数列中的某一个数列。
从以上的分析，我们可以看出：
（1）、当一个大一点的数除以公差30、
210、2310等，如果，它的余数为这8个、48个、480个等差数列的某一个首项，则该数属于以余数为首项，公差为30、
210、2310等差数列中的数；
（2）、当一个大一点的数除以公差30、
210、2310等，如果，它的余数不是这8个、48个、480个等差数列的首项的数，则该数必然被素因子
2、
3、5或
2、
3、
5、7，或
2、
3、
5、7，11中的素因子整除。比如说，余数能被素因子7整除，那么，这个数必然被素因子7整除。
（3）、令任意数为M，当M/30的余数是这8个等差数列的首项中的某一个数时，M属于以余数为首项，以30为公差的等差数列中的数，令这8个等差数列中的某一个项为X，当M/30X的余数/X能够整除时，那么，该数M必然能够被X整除。
当M能被X整除时，令M/30X的余数为A，那么M-A必然为30X的倍数，说明能够被X整除的数是以30X进行循环的；由此可以看出，不能被X整除的数，即除以X的相同余数的数，也是以30X进行循环的。
三、乘法口诀的具体应运
任何一项发现和创新，都有它的适用范围，都是为了把一项复杂的问题简单化。我这里所说的大乘口诀也是如此。
比如说，现在人们对素数的探索，使用电脑寻找素数时，仍然是把数字列出来，用这些数字除以它根号以下的素数，如果不能被整除的则是素数，能够整除的则是合数。一方面所有数字必须进行试除，另一方面它必须除以它根号以下的所有素数。有没有一个方面，不让素数参与运算，让合数只参与一次运算，而不是被所有素因子试除；能不能把寻找范围逐渐缩小，而不是所有数字都参加这种试除，而且还不遗漏任何一个素数。
我们的《素数的分布》就是逐渐缩小寻找素数的范围，这里的大乘口诀就是：不让素数参与运算，让合数只参与一次运算，而不是被所有素因子试除。
我们举例进行说明吧：
当公差为30时，即公差为含素因子2，3，5。那么，该公差不能被大于5的素数整除，我们要删除某一个数列中含大于5的素因子的合数时，比如说在1+30N等差数列中含素因子43的合数。因为，该等差数列的公差不能被素因子43整除，所以，该数列的每43项必然有一项被素数43整除，我们是以它的每一项除以43，来寻找含素因子43的合数呢？还是采用下面两种方法之一。
我们知道，43/30余13。即43为13+30N数列中的数，从上面表中查得：（1+30N）/（13+30N）→7+30N，即（13+30N）*（7+30N）→1+30N。得知：43*（7+30N）的合数存在于等差数列1+30N数列之中。即43分别乘以：7，37，67，97，127，157等。
又因为，7*43=301，乘数7，37，67，97，127，157相差为30，即积数相差为43*30=1290。即在等差数列1+30N中含素因子43的合数为：301+1290N为301，1591，2881，4171，5461，6751等。当您计算到6751时，1+30N的数列为225项，如果用255项分别除以43得计算255个除法题，而这里只计算了6个乘法题或6个加法题。就把该数列在6751内能被素因子43整除的数全部寻找出来了。
又如：公差为510510的发展素数的数列有92160个等差数列，我们把自然数降为了18.05%。在这18.05%的自然数中寻找大于17的素因子的合数，比如说在等差数列23+510510N的数列中寻找含素因子61的合数。我们如果没有这种大乘口诀，必然用23+510510N的每一个项除以61来寻找含素因子61的合数。如果说我们有了这种大乘口诀，就可以在口诀表中直接查到（61+510510N）*（318023+510510N）→23+510510N，即61*（318023+510510N）的积为23+510510N数列中含素因子61的合数。我们同样取318023+510510N的6个项有：318023，828533，1339043，1849553，2360063，2870573，用它们分别乘以61，或者用61*318023=19399403，61*510510=31141110，即19399403+31141110N得：19399403，50540513，81681623，112822733，143963843，175104953为等差数列23+510510N中含素因子61的合数，175104953为等差数列23+510510N的344项，如果我们用每一项除以61来寻找含61的合数必须做344个除法题，而这样我们只做了6个乘法题或6个加法题，我们就准确地计算出了等差数列23+510510N到175104953的含素因子61的全部合数。
当公差为510510时，我们已经把自然数降到了18.05%，在以公差为510510的92160个等差数列中，对含素因子61的合数的删除又是每个数列的每61项只删除一项，即每个数列只做一个乘法题或加法题，为（18.05%）/61≈0.29%。这只是说按公差为510510的92160个数列对含素因子61的合数的删除相当于删除自然数的0.29%，实际按《素数的分布》进行合数的删除，还不是这个结果。因为，在那里是按素因子从小到大依次进行删除的，这92160个数列是删除了含素因子2，3，5，7，11，13，17的所有合数后，才该素因子19进行删除，素因子19只对这92160个数列的每个数列的前19个项，删除一个含素因子19的合数后，组成新的数列。新的数列中再也没有含素因子19的合数了，即删除92160/（92160*19）=1/19。范围为510510*19=9699690内删除92160个数，即92160/9699690≈0.95%，即为含素因子19的合数在整个自然数中的永久性删除。素因子61的删除，还得等素因子19，23，29，31，37，41，43，47，53，59删除了含它们的合数数列之后，才能进行删除，即它的删除还远远小于0.29%。
所以，使用这种方法寻找素数，会达到事半功倍的效果。
四川省三台县工商局：王志成
