《数学分析》教案
第二十二章 曲面积分
教学目的：1.理解第
一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。
教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。 教学时数：18学时
§ 1 第一型曲面积分
一.第一型面积分的定义:
1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算 2.曲面的质量:
3.第一型面积分的定义: 定义及记法., 面积分
.
4.第一型面积分的性质:
二.第一型面积分的计算:
1.第一型曲面积分的计算: Th22.2 设有光滑曲面 续函数,则
.
为 上的连. 例4 计算积分
, 其中 是球面
被平面
所截的顶部 .P281
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D
上的连续函数, 以 的上侧为正侧( 即
), 则有
.证 P 类似地, 对光滑曲面
D .
, 在其前侧上的积分
对光滑曲面 D , 在其右侧上的积分
.
计算积分
,
时, 通常分开来计算三个积分
, .为此, 分别把曲面 投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面 的定向决定. 例1 计算积分
,其中 是球面
在
部分取外侧.P287 例2 计算积分
， 为球面
取外侧.
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对积分则有
:
;
, 分别用
和
记上半球面和下半球面的外侧,
:
.因此, =
+ =
.综上, =
§ 3 Gau公式和Stokes 公式
. 一.Gau公式:
Th22.6 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面 围成 .若函数
在V
上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则
, 其中 取外侧.称上述公式为Gau公式或Остроградский―Gau公式.
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解
.
由Gau公式 . 例2 计算积分
，其中 是边
.P291 长为的正方体V的表面取外侧.V : 解 应用Gau公式 , 有
.例1 计算积分
在平面
， 为锥面
下方的部分，取外法线方向 .解 设 为圆
取上侧 , 则
构成由其所围锥体 V的表面外侧 , 由Gau公式 , 有 =
而
锥体V的体积
;
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二.Stokes公式:
空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线L行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为L的正向. 1.Stokes定理:
Th22.7 设光滑曲面 的边界L是按段光滑的连续曲线 .若函数
、
导数 , 则
和
在 ( 连同L )上连续 ,且有一阶连续的偏
.其中 的侧与L的方向按右手法则确定 .称该公式为Stokes公式 .
证 先证式 .具体证明参阅P292.Stokes公式也记为 . 例5 计算积分
, 其中 L为平面
与各坐标平面的交线, 方向为: 从平面的上方往下看为逆时针方向.P294
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