推荐第1篇：小学奥数教案——简单推理
教案
简单推理
一 本讲学习目标
初步认识推理，找到解决简单推理的方法和心得。
二 重点难点考点分析
在小学阶段，所谓推理符合逻辑，就是指在推理过程中要遵守一定的逻辑原则。应用一些推理的方法去解决实际问题，即应用归纳法、推理法、演绎法去解题。在许许多多的奥数题中，应用推理方法解题是非常常见的。在学习奥数或做奥数习题时应用推理方法，无论是哪种推理，推理的前提是必须真实，推理的每一步要符合逻辑原则，这样才能得出正确的结论。
三 概念解析
推理就是由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。推理按推理过程的思维方向划分，主要有演绎推理、归纳推理和类比推理。推理是由已知判断推出未知判断的思维形式，是形式逻辑。
四 例题讲解
为表扬好人好事核实一件事，李老师找到了甲、乙、丙三人。 甲说：是乙做的。 乙说：不是我做的。 丙说：不是我做的。
这三人只有一人说了实话，问这件好事是谁做的？
在一桩谋杀案中，有嫌疑犯甲、乙，另有四个证人在受讯。 第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。” 第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”
第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。”
第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”
经过调查：已经证实第四个人说了实话，请问谁是凶手？
李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中一个当了记者。一次有人问起他们的职业，李志明说:“我是记者。”张斌说:“我不是记者。”王大为说:“李志明说了假话。”如果他们三人中只有一句是真的，那么谁是记者？
在甲、乙、丙三人中有一位教师，一位工人，一位战士。已知丙比战士年龄大，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小，请你判断谁是教师？
在国际饭店的宴会桌旁，甲、乙、丙、丁四位朋友进行有趣的交谈，用了中、英、法、日四种语言，知道的情况如下: (1)甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言； (2)有一种语言四人中有三人都会； (3)甲会日语，丁不会日语，乙不会英语；
(4)甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈； (5)没有人即会日语，又会法语。
甲会_____，乙会______，丙会_______，丁会_______。
甲、乙、丙三人，他们在南宁、柳州、桂林工作，他们的职业是教师、医生和工程师。已知下列情况: (1)甲不在桂林工作; (2)乙不在南宁工作; (3)在桂林工作的不是教师; (4)在南宁工作的是医生; (5)乙不是工程师.根据上述情况判断甲、乙、丙三人各在什么地方工作,职业是什么?
有一天，李强、王雷、丁红、孙丽四名运动员围坐在桌旁聊天。已知：
⑴ 丁红的对面是足球运动员；⑵ 李强的左边是篮球运动员；⑶ 孙丽的对面是王雷；⑷ 篮球运动员与乒乓球运动员不相邻；⑸ 排球运动员的右边是孙丽。根据上面的情况判断，王雷是什么球类运动员？
在一列国际列车上，有A，B，C，D四位不同国籍的旅客，他们分别穿蓝、黑、灰、褐色的大衣，面对面每边两人地坐在同一张桌子上。已知：
⑴ 英国旅客坐在B先生左侧；⑵ A先生穿褐色大衣；⑶ 穿黑色大衣的坐在德国旅客右侧；⑷ D先生的对面坐着美国旅客；⑸ 俄国旅客穿着灰色大衣。问：A，B，C，D分别是哪国人？分别穿着什么颜色的大衣？
北京至福州列车里坐着6位旅客:A、B、C、D、E、F,分别来自北京、天津、上海、扬州、南京和杭州.已知: ① A和北京人是医生,E和天津人是教师,C和上海人是工程师.② A、B、F和扬州人参过军,而上海人从来未参军.③ 南京人比A岁数大,杭州人比B岁数大,F最年轻.④ B和北京人一起去杭州,C和南京人一起去广州.试根据已知条件确定每个旅客的住址和职业.
去韩国看世界杯的6位游客A、B、C、D、E、F分别来自北京、天津、上海、扬州、南京和杭州，已知： (1) A和北京人是医生，E和天津人是教师，C和上海人是工程师； (2) A、B、F和扬州人没出过国，而上海人到过韩国； (3) 南京人比A岁数大；杭州人比B岁数大，F最年轻；
(4) B和北京人一起去光州，C和南京人一起去汉城。
则A是 人，职业是 ；B是 人，职业是 ；C是 人，职业是 ；D是 人，职业是 ；E是 人，职业是 ；F是 人，职业是 。
五 课堂练习
要分配A、B、C、D、E五人中的某些人去执行一项任务,分别时要遵守下列规定: (1)如果A去,那么B一定要去; (2)D、E两人中至少去一个; (3)B、C两人中去且只去一人; (4)C、D两人都去或者都不去; (5)如果E去,那么A、D都去.___________应该去.
有甲、乙、丙、丁四人同住在一座四层的楼房里,他们之中有工程师、工人、教师和医生.如果已知: (1)甲比乙住的楼层高,比丙住的楼层低,丁住第四层; (2)医生住在教师的楼上,在工人楼下,工程师住最低层.试问:甲、乙、丙、丁各住在这座楼的几层?各自的职业是什么?
六 励志或学科小故事——居里夫人
几十年前，波兰有个叫玛妮雅的小姑娘，学习非常专心。不管周围怎么吵闹，都分散不了她的注意力。 一次，玛妮雅在做功课，她姐姐和同学在她面前唱歌、跳舞、做游戏。玛妮雅就像没看见一样，在一旁专心地看书。 姐姐和同学想试探她一下。她们悄悄地在玛妮雅身后搭起几张凳子，只要玛妮雅一动，凳子就会倒下来。时间一分一秒地过去了，玛妮雅读完了一本书，凳子仍然竖在那儿。 从此姐姐和同学再也不逗她了，而且像玛妮雅一样专心读书，认真学习。 玛妮雅长大以后，成为一个伟大的的科学家。她就是居里夫人。
推荐第2篇：二年级奥数
小青把
1、
2、
3、
4、……9
7、9
8、9
9、100、101 放在一起，顺次排成一个多位数，123456……99100101，这个大数是几位数？
分析与解 能不能把这个大数写出来，再数一数是几位数？这个办法是可以的，就是太费时间了。
我们可以这样想：
1、
2、
3、
4、……
8、9 都是一位数，写一个一位数只用1 个数字，这样1～9 占了9 个数位。
10、
11、
12、……
18、19 20、
21、
22、……
28、29……
90、9
1、9
2、……9
8、99都是两位数，写一个两位数要用2 个数字，占两个数位。10～99 共有10×9＝90 个两位数，写出这些两位数，要用2×90＝180 个数字，共占去了180个数位。
100、101 是两个三位数，共占了6 个数位。
把
1、
2、
3、……9
7、9
8、9
9、100、101 顺次排成的大数123456…… 99100101，共占了9＋180＋6＝195 个数位，所以这个大数是一个195 位数。
答：这个大数是195 位数。
张小虎做一道乘法题时，把被乘数78写成了87，结果计算的乘积比原来的乘积多了45.张小虎做的乘法题，它原来的算式是几×几？
分析与解根据已知，要求原来的算式是几×几，只要求出算式中的乘数是几就可以了。
张小虎把被乘数78写成了87，比原来的被乘数多了87－78＝9，那么所得的乘积必然就多出9与乘数相乘的结果。从题中知道，9与乘数相乘的结果是45，所以乘数一定是45÷9＝5.由此得出原来的算式是78×5，当然，积就是390了。
答：原来的算式是78×5. 比较345×347和346×346两个算式，哪个算式的乘积大？
分析与解比较这两个算式的乘积的大小时，不必乘出结果来，再比较积的大小。我们只要把算式变化一下，就能得出结果来。
345×347＝345×（346＋1）＝345×346＋345 346×346＝（345＋1）×346＝345×346＋346上面两式的结果中345×346的积是相等的。一个式子加上345，另一个式子加上346，那当然是加上346的大了。因此346×346的积比345×347的积大。
答：346×346的积比345×347的积大。
两个三位数相减，差是892，那么被减数与减数的各个数位上的6个数字相乘，积是多少？
分析与解两个三位数相减，差的百位数字是8，那被减数的百位数字一定是9，减数的百位数字一定是1.差的十位数字是9，那被减数的十位数字一定是9，减数的十位数字一定是0.至于个位数字是几，那就不必求出了。
由此可知，被减数、减数各个数位上的6个数字中有1个是0了，那被减数、减数各个数位上的6个数字的乘积一定是0.答：积是0.
下面的算式是两个三位数相加，其和是1995.每一个□代表一个数字，那么这6个□中的数字总和是多少？
分析与解两个三位数相加，其和是1995，其中一个加数最大也不会大于999，那另一个加数最小也不会小于1995－999＝996.这样就可以知道，这两个三位数的百位数字和十位数字的和一定是9×4＝36.两个三位数的个位数字之和必定是15.由此得出两个三位数的6个数字之和是36＋15＝51答：六个数字总和是51.
某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？
分析：要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，还要知道从4楼走到8楼共走几层楼梯.上一层楼梯需要：48÷（4-1）=16（秒），从4楼走到8楼共走8-4=4（层）楼梯。到这里问题就可以解决了。
解：上一层楼梯需要：48÷（4-1）=16（秒）
从4楼走到8楼共走：8-4=4（层）楼梯
还需要的时间：16×4=64（秒）
答：还需要64秒才能到达8层。
小华、小林、小黄三人期末考试数学成绩总和为289分，已知小华比小林多8分。小林比小黄少8分，三个人各得多少分？
解答：可以知道小华和小黄的分数相同，均比小林多8分，因此小华和小黄的分数为
（289＋8）÷3=99（分）小华的人数为91分
小华用压岁钱的一半买了一只新书包，又用余下的一半买了几本连环画，又用余下的一半买了一个铅笔盒，还剩4元，小华的压岁钱一共有多少元？
解答：在买铅笔盒之前小华有4×2=8（元），在买连环画前有8×2=16（元），在买新书包前有16×2=32（元）。因此小华的压岁钱有32元
一桶柴油连桶称重120千克，用去一半后，连桶称还重65千克。这桶里还有多少千克？空桶重多少？
解答：因为一半的油重：120－65=55（千克），所以桶里还有油55千克
桶的重量为120－55×2=10（千克）。
40个人扛100个沙袋，大个子每人扛三袋，小个子每人扛一袋。问：大、小个子各有多少人？
解答：大个子30人，小个子10人。
假设40人全是大个子，那么共可以扛120袋，比实际多120-100=20(袋)．现在以小个子去换大个子，每换一个总人数不变，而沙袋数就要减少3-1=2 (袋)，因为20÷2=10（人），故小个子有10人，大个子有40-10=30(人)．
同样，也可以假设100人都是小和尚，也可得到同样结果。
东东、明明两个人的平均年龄是14岁，明明、亮亮两个人的平均年龄是17岁，那么亮亮比东东大几岁？
解答：东东、明明的年龄和是：14×2=28 （岁），明明、亮亮的年龄和是：17×2=34 （岁），所以亮亮、东东的年龄差为：34-28=6 （岁）．
1.兄弟二人的年龄之和是25岁,四年后,哥哥比弟弟大5岁,今年哥哥 岁,弟弟 岁.
解题思路:在年龄问题中,两人的年龄差是不变的量,在这道题中,兄弟两人相差5岁是不变的量,如果哥哥小5 岁就和弟弟一样大,总数变为25-5=20(岁)相当于弟弟年龄的2倍,可以先求出弟弟的,相应再求哥哥的,或者弟弟大5岁就和哥哥相同,总数变为 25+5=30(岁)相当于哥哥年龄的2倍,可以求出哥哥的,再求弟弟的.
解法一:25-5=20(岁)
20÷2=10(岁)
10+5=15(岁)
答:弟弟10岁,哥哥15岁.大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？
解答：(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(个)
25-10＝15(个)
160-15＝145(个)
【小结】这道题是和倍应用题，因为有\"和\"、有\"倍数\"。但这里的\"和\"不是 160，而是160－20＋10＝150，\"1倍\"数却是\"小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数\"。线段图如下：
根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即\"1倍\"数)
(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(个)，
故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(个)，大白兔原有蘑菇
160-15＝145(个)。 妈妈今年的年龄比儿子的年龄大27岁，2年前妈妈的年龄是儿子的年龄的4倍。儿子今年的年龄是多少岁？妈妈的年龄是多少岁？
儿子今年的年龄是11岁，妈妈的年龄是38岁.
因为妈妈与儿子的年龄差是不变的，2年前妈妈的年龄是儿子的4倍，则年龄差（27）是儿子年龄的4-1=3倍，这年儿子的年龄是27÷（4-1）=9（岁）。
儿子现在的年龄是27÷（4-1）=9（岁）.+2=11岁
妈妈现在的年龄是11+27=38（岁）
在一个正六边形的环上插上花，每边插20支，最少要插多少支？
解答：114支。
要求最少插的的数目，所以六个角上都应该插一支花．封闭图形，支数等于段数．每边20-1=19 (段)，六边19×6=114 (支).
红红、聪聪和颖颖都戴着太阳帽去参加野炊活动，他们戴的帽子一个是红的，一个是黄的，一个是蓝的。只知道红红没有戴黄帽子。聪聪既不戴黄帽子，也不戴蓝帽子，请你判断红红、聪聪和颖颖分别戴的是什么颜色的帽子
红红（红
蓝）
聪聪（红）
由此得知红红（蓝）聪聪（红）颖颖（黄） 明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？
［分析]\"多8元\"与\"多4元\"两者相差8-4=4 （元），每个人要多出8-7=1 （元），因此就知道，共有4÷1=4 （人），蛋糕价钱是 8×4-8=24（元）．
推荐第3篇：二年级下册《简单的推理》教案
数学广角——简单的推理
新场镇永高小学校
李敏
教学目标：
1、通过日常生活中的最简单的事例，让学生进行分析、推理得出结论。
2、培养学生初步观察、分析与推理的能力。
3、培养学生的观察、操作及归纳推理的能力。
4、培养学生有顺序地、全面思考问题的能力。教学重、难点 ：
培养学生分析、推理的思维过程及有顺序地、全面思考问题的能力 教学过程 ：
一、游戏导入、激发求知欲。
我们在猜的时候不能漫无目的地随便猜，而要根据所给条件来猜。像这样根据已经知道的条件，通过我们的分析，逐步推出结论的思维过程，在数学上称为推理。 教师板书课题：数学广角——推理
二、探索新知 教学例1.出示：有语文、数学和品德与生活三本书，小红、小丽和小刚各拿一本。
小红说：我拿的是语文 小丽说：我拿的不是数学书 师：请猜一下小刚拿的是（
）书 小丽拿的是（
）书
(要求：1.把想法用你喜欢的方式记录下来，如写一写、连一连、画一画...... 2.和同桌交流分享你的方法。) 师：说说你是怎样想的。
汇报时教师要注意引导学生说自己是怎么想的。
师：阅读思考后直接得出结论。我们还有什么更直观、简洁的方法来提高推理结论的正确性？
我们可以把人名和书名写成两行，再连线。
师：引导学生根据第一个条件写出人名和书名并连线。 师：这个方法好，会用吗？ 师：还可以用表格的形式表示！ 师：以上的方法中你最喜欢哪种？
三、总结推理过程。
两种情况的推理，想“不是什么，就是什么”推出结果。 三种情况的推理,要先确定一种，再变成两种情况的推理。
四、应用提升。
五、这节课你学到了什么？
2016/3/23
推荐第4篇：简单推理教案
简单推理
知识要点
一道算式题都是用运算符号和数组成，除此之外还有一种叫图形算式，就是在算式中用图形来代表不同的数，要我们通过计算把图形所代表的数求出来。解答时，要根据加、减、乘的意义和各种图形之间的关系来解答，通常要用分析法、代入法、推算法等。
典题解析
例
1、☆、○、□各代表什么数字？
☆＋☆＋☆＝18 △＋☆＝14 △＋○＋○＋○＝20 ☆＝（ ） ○＝（ ） □＝（ ）
练习1：
1、△＋○＝24 ○＝△＋△＋△
△＝（ ） ○＝（ ）
2、○＝△＋△＋△＋△＋△ ○×△＝20 △＝（ ） ○＝（ ）
例
2、找出下面式子中☆和△各代表什么数。
☆＋☆＋☆＋△＋△＝22 ☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋△＋△＝30 △＝（ ） ☆＝（ ）
1
练习2：
1、□＋□＋△＋△＋△＝21 □＋□＋△＋△＋△＋△＋△＝27 △＝（ ） □＝（ ）
2、□＋□＋○＋○＝14 □＋□＋○＝11 ○＝（ ） □＝（ ）
3、春节到了，爸爸买了2只鸭、1只鸡共付33元，如果买2只鸭、3只鸡要付51元，问一只鸡和一只鸭各多少钱？
例
3、找出下面式子中□和△各代表的数。
□＋△＝9 □＋□＋□＋△＋△＝25 △＝（ ） □＝（ ）
练习3：
1、□＋□＋△＝16 □＋△＋△＝14 △＝（ ） □＝（ ）
2、☆＋☆＋○＝10 ☆＋○＋○＝8 ○＝（ ） ☆＝（ ）
2
3、1只菠萝的重量＋3只梨的重量＋2只桃的重量＝140 1只菠萝的重量＋5只梨的重量＋2只桃的重量＝190 问：一只梨重（ ）克。
例
4、☆、○、△都不等于0，○代表的数是几？
○×△＝☆ △＋△＋△＝☆－△－△ ○＝（ ）
练习4：
1、☆、○、△都不等于0，△代表的数是几？
（1） ○×△＝☆ ○＋○＋○＝□－○ △＝（ ）
（2） ☆×△＝○ ☆＋☆＋☆＝○＋☆ △＝（ ）
2、☆、○、△都不等于0，○代表的数是几？
○×△＝☆ △＋△＋△＝☆－△－△ －△ ○＝（
例
5、写出下列图形所表示的数。
△＋□＝5 △＋○＝6 □＋○＝7 △＝（ ） ○＝（ ） □＝（ ）
）
练习5：
1、写出下列图形所表示的数。
☆＋○＝3 □＋○＝4 □＋☆＝5 ☆＝（ ） ○＝（ ） □＝（ ）
2、写出下列图形所表示的数。
○×△＝24 ☆×□＝45 □×○＝40 △×□＝15 ☆＝（ ） ○＝（ ） □＝（ ） △＝（ ）
例
6、下式中，□和△各代表几？
□＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（
练习6：
1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ ） ○=（ ）
2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48 □=（ ） △=（ ）
）
推荐第5篇：简单推理教案
第十六讲 简单推理
【知识概述】
小文比小林高，小林比小佳高，那我们可以推断，小文一定比小佳长得高，这也是一种推理。与前面推理题不同的是，这种推理解答时不需要或很少用到计算，而要求我们根据题目中给出的已知条件，通过分析和判断，得出正确合理的结论。
做推理题时，要根据已知条件认真分析，为了找到突破口，有时先假设一个结论是正确的，然后验证它是不是符合所给的一切条件，若没有矛盾，说明推理正确，否则再换个结论来验证。
【例题精选】
例题1 红红、聪聪和颖颖都戴着太阳帽去参加野炊活动，她们戴的帽子一个是红的，一个是黄的，一个蓝的。只知道红红没有戴黄帽子，聪聪既不载黄帽子，也不戴蓝帽子。请你判断红红、聪聪和颖颖分别戴的是什么颜色的帽子？
思路点拨：从已知条件中可知，“聪聪既不戴黄帽子，也不载蓝帽子”是个关键条件，因为3个人戴的帽子只有红、黄、蓝三种颜色，因此排除黄、蓝两种颜色，聪聪只能戴红帽子；又根据“红红没戴黄帽子”可知红红戴蓝帽子，因此颖颖只能戴黄帽子。 试一试
爸爸买回3双袜子，其中2双是花袜子，1双是红袜子，爸爸塞了一双花袜子给妹妹，又塞了一双红袜子给哥哥，把剩下的1双藏在自己手中，让兄妹俩猜是什么颜色的，谁猜对就把袜子给谁。你们说，谁肯定会猜对？
例题2 一个正方体有六个面，每个面分别涂有红、绿、黄、白、蓝、
黑六种颜色，你能根据这个正方体的三种不同的摆法，判断出这个正方体每一种颜色对面各是什么颜色吗？
黑红白绿黄红蓝白黄
思路点拨：如果直接思考某种颜色对面是什么颜色比较困难，可以换一种思维方式，想想某种颜色对面不应该是哪种颜色。
从图（1）中可看出红色的对面肯定不是黑色和白色；从图（2）可看出红色对面肯定不是黄色和绿色，所以红色的对面是蓝色。
从图（2）可看出黄色对面肯定不是绿色和红色；从图（3）可以看出黄色对面肯定不是蓝色和白色，所以黄色对面是黑色。剩下的白色的对面肯定是绿色。 试一试
有一个正方体，每个面上分别写着
1、
2、
3、
4、
5、6，有三个人从不同的角度观察，结果如下：
134126523
这个正方体每个数的对面是什么数？
【练一练】
1.黄颖、李红和马娜都穿着新衣服，她们穿的衣服一个是花的，一个是粉红的，一个是蓝的。已知黄颖穿的不是花衣服，李红既不穿蓝衣服，也不穿花衣服。她们分别穿什么颜色的衣服？
2.某班学生中，如果有红色铅笔的人就没有黄色铅笔，没有红色铅笔
的人有蓝色铅笔，那有黄色铅笔的人，一定有蓝铅笔吗？
3.一个正方体，每个面上分别写有A、B、C、D、E、F，根据它三种不同的摆法，判断这个正方体每个字母的对面是什么？
CBADEBAFE
4.把一个正方体的六个面分别编上1——6六个数字，现在用这样的四个小正方体拼成一个长方体，相对两个面分别是几和几？
15132 2414
推荐第6篇：二年级奥数题
二年级数学培优题
1、一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8，求这个数?
2、小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题？
3、2，3，5，8，12，( )，( )
4、1，3，7，15，( )，63,( )
5、1，5，2，10，3，15，4，( )，( ) 6，
8、
8、
10、
6、
12、
4、（ ）、（ ）
7，
1、
2、
3、
2、
3、
4、
3、
4、
5、（ ）、（ ）
8，
16、
3、
8、
9、
4、（ ）、（ ） 9， 在合适的地方插入\"+\"或\"-\"，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 99
10、△+○=9 △+△+○+○+○=2
5 △=( ) ○=( )
11、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？
12， 学校派一些学生去搬树苗，如果每人搬6棵，则差4棵，如果每人搬8棵，则差18棵，这批树苗有( )棵。
13， 小雷、二雷、大雷去称体重，大雷和小雷一起称是50千克， 小雷和二雷一起称是49千克，三个人一起称是76千克。小雷的体重是（ ）千克。
14，81位同学排成9行9列的方阵表演体操，小红在方阵中，正左边有2个同学，正前方有3个同学，这时整个方阵的同学向右转，则小红的正前方有( )个同学，正右边有( )个同学。
15，有一个老妈妈，她有三个男孩，每个男孩又都有一个妹妹，问这一家共有几口人？
16、果园里有桃树126颗，是梨树棵数的3倍，果园里桃树和梨树一共多少棵？
17、有人问孩子年龄，回答：\"比爸爸的岁数的一半少9岁。\"又问爸爸的年龄，回答说：\"比孩子的4倍多2岁。\"孩子年龄( )岁。
18、哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票后还比弟弟多面手多2张，哥哥原来有邮票多少张？(写出过程)
19、按规律填数。
(1)1，3，5，7，9，( )
(2)1，2，3，5，8，13( )
(3)1，4，9，16，( )，36
(4)10，1，8，2，6，4，4，7，2，( )
20、在下面算式适当的位置添上适当的运算符号，使等式成立。
(1)8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000
(2)4 4 4 4 4 = 16
(3)9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 22
21、30名学生报名参加美术小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？
22、用6根短绳连成一条长绳，一共要打( )个结。
23、篮子里有10个红萝卜，小灰兔吃了其中的一半，小白兔吃了2个，还剩下( )个。
24、2个苹果之间有2个梨，5个苹果之间有几个梨？
25、在一次数学考试中，小玲和小军的成绩加起来是195分，小玲和小方的成绩加起来是198分，小军和小方的成绩加起来是193分。问他们三人各得多少分？
26、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是( )和( )
27、小红今年4岁，小英今年的岁数是小红的2倍，小花今年的岁数是小英的2倍。小花今年的岁数是小红的几倍？
28、有一天，大熊老师在黑板上写了一列数字，然后他停下来，让小兔妮妮和熊猫冰冰来猜一猜． ⑴ 第25个数是几？ ⑵ 这25个数的和是多少？
1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，……
29、15个小朋友排成一排报数，报双数的小朋友去打乒乓，队伍里留下( )人。
30、一只梅花鹿从起点向前跳 5米，再向后跳4米，又朝前跳7米，朝后跳10米；然后停下休息，你知道梅花鹿停在起点前还是起点后？与起点相距几米？
31、哥哥给了弟弟2支铅笔后还剩5支，这时两人的铜笔一样多，弟弟原来有铅笔( )支。
32、林林、红红、芳芳三个小朋友买糖吃。林林买了7粒，红红买了8粒，芳芳没有买。三个小朋友要平分吃，芳芳一共付了1元钱，其中给林林( )角，给红红( )。
33、姐妹俩人有糖若干，如果姐姐给妹妹3块，两人的糖数就相等，如果妹妹给姐姐2块，姐姐的糖就是妹妹的3倍。姐姐妹妹原来各有多少块糖？
34、环形跑道上正在进行长跑比赛。每位运动员前面有7个人在跑，每位运动员后面也有7个人在跑。跑道上一共有( )个运动员？
35、把16只鸡分别装进5个笼子里，要使每个笼子里鸡的只数都不相同，应怎样装？请把每只笼子里的鸡的只数分别填入下面五个方框中。
36、今天红红8岁，姐姐13岁，10年后，姐姐比红红大( )岁。
37、汽车每隔15分钟开出一班，哥哥想乘9时10分的一班车，但到站时，已是9时20分，那么他要等( )分钟才能乘上下一班车。
38， 求1+2+3+…+24+25的和．
39、二(1)班小朋友排成长方形队伍参加体操表演。红红左看是第6名，右看是第2名，前看是第4名，后看是第3名。二(1)班共有( )小朋友。
40、汽车场每天上午8时发车，每隔8分钟发一辆。那么从8时到8时40分，共发了( )辆车？
41、一只苹果的重量等于一只桔子加上一只草莓的重量，而一只苹果加上一只桔子的重量等于9只草莓的重量，请问，一只桔子的重量等于几只草莓的重量。
42，两个桶里共盛水30斤.如果把第一个桶里的水倒3斤给第二个桶里，两个桶里的水就一样多了.问每个桶里各有多少斤水？
43，今年的\"六一\"儿童节是星期二，再过16天是星期几？
44，兄弟两人去钓鱼，一共钓了23条，哥哥钓的鱼比弟弟的两倍还多两条，哥哥弟弟各钓了多少条？
45，小马虎在做一道减法时，把减数的个位数字9看做7，把十位数字5看做8，结果是98。正确的答案是多少？
46， 李大妈买3千克苹果和2千克白菜共付16元钱。按钱数算1千克苹果可以换2千克白菜。1千克白菜与1千克苹果各多少钱？
47，某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？
48，学校买来一批新书，2年级借走了一半，1年级借走了剩下的一半，还剩下5本，问：学校一共买来了多少本新书?
49， 一瓶油，连瓶一共重800克，吃去一半的油，连瓶称，还剩550克。瓶原来有多少克油？空瓶重多少克？
50，六年级一班共有42人，其中20人参加了数学竞赛，10人参加了作文竞赛，已知全班有2人既参加了数学竞赛又参加了作文竞赛，没参加比赛的有几人？
51，东东做一道加法题时，把个位上的1看成7,把十位上的6看成9,结果是75,可是正确的的答案应该是（
）。
52、小明买文具盒花的钱乘4,除以2,加上3,减去2,再除以3最后得3，小明的文具盒到底（ ）元。
53、妈妈买回不到20块糖，3块3块地数还余2块，5块5块地数还余2块，妈妈到底买回（ ）块糖。
54、一座桥长25米，在它的两边每隔5米有一盏灯，第一盏灯在桥的起点，最后一盏在桥的终点，桥上一共有（
）盏灯。
55、1千克梨有8个，1千克苹果比1千克梨的个数多1个，妈妈买了2千克梨和2千克苹果，共有苹果和梨( )个。
56、一座5层高的塔，最上边一层装了2只灯，往下每低一层多装4只灯，最下面一层要装多少只灯？(写出过程)
57、今年哥哥和弟弟的年龄和是32岁，两年后哥哥比弟弟大4岁，今年哥哥和弟弟各是多少 岁？
58、一只蜗牛向前爬25厘米，又朝后退15厘米，在朝前爬10厘米，结果前进了( )厘米。
59、小明第一天写5个大字，以后每一天都比前一天多写2个大字，6天后小明一共写了( )个大字。
60、一辆公共汽车上有6个空座位。车开到团结站，没有人下车，但上来了9人，空座位还有2个，上车的人中有( )人站着。
61、两箱苹果都重40千克，从第一箱中拿出8千克到第二箱后，第二箱比第一箱多( )千克。
62、学校校门的右边插了8面彩旗，每两面彩旗之间的距离都是2米，从第1面彩旗到第8面彩旗之间共有( )米。
63、一个三位数，十位上的数字是9，正好是个位数字的3倍，三个数位之和是13。这个三位数是( )
64、冬冬今年10岁，爸爸今年40岁，冬冬( )岁时，爸爸的年龄正好是冬冬的2倍。
65、小明栽树5棵，大强、李卫、大华和冬冬每个人栽的棵数和小明同样多。他们一共栽树( )棵。
66、鸡兔共有腿50条，若将鸡数与兔数互换，则腿数变为54条，鸡有( )只，兔有( )只。
67、晚上小华在灯下做作业的时候，突然停电，小华去拉了两下开关。妈妈回来后，到小华房间又拉了三下开关。等来电后，小华房间的灯( )(填\"亮\"或\"不亮\") 6
8、花果山上的桃熟了，小猴忙到树上摘桃。第一次，它摘了树上桃的一半，回家时还随手从树上摘了2个；第二次，它将树上剩下的8个桃全部摘回家。小猴共摘回( )个桃。
69、节日里，学校门前的彩灯从左到右按2个红3个黄4个蓝的顺序排列。从左到右看，第12只彩灯是( )色，第36只彩灯是( )。
70、把一杯水倒入空瓶，连瓶共重140克，如果倒入三杯水，连瓶共重260克。空瓶的重量是( )克。
71、李奶奶家现有16个鸡蛋，还养了两只每天下一个蛋的母鸡。如果李奶奶家每天都吃4个鸡蛋，她家可以连续吃( )天。
72、一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。问长到5厘米时要用( )天。
73、每3个空瓶可以换一瓶汽水，有人买了27瓶汽水，喝完后又用空瓶换汽水，那么，他最多喝( )瓶汽水。
74、小红做计算题时，由于粗心大意，把一个加数个位上的8错误地当作了3，把百位上的6错当成了9，所得的和是138，所得的和是438，正确的和是多少？(写过程)
75、小明做计算题时，把被减数个位上的3写成了5，十位上的6错写成了0，这样得差是189，正确的差是多少？(写出过程)
推荐第7篇：二年级奥数时分秒
新标准教育
二年级奥数班试题
时、分、秒（冲刺提优）
1、小明10秒可打7个字，他1分钟能打多少字？9分钟能打多少字？
2、一个小朋友用自来水洗完手，忘记关水龙头了。已知1分钟一个水龙头能流掉3千克的水，求半小时会浪费多少水？
3、时钟每逢几点敲几下，每半小时敲1下，从下午1时到晚上9时，时钟一共敲了多少 下？
4、蜗牛从12厘米的杯底往上爬，它每爬3厘米要用3分钟，然后休息2分钟，求蜗牛从杯底爬到杯口要多少时间？
5、5个人同时用相同的速度吃5块饼需要5分钟。求100人以同样的速度同时吃100块饼需要几分钟？
6、小华做作业，写语文用去规定时间的一半，写数学用去剩下时间的一半，最后5分钟用来读书，小华规定的作业时间是多少？
新标准教育
二年级奥数班试题
7、一架飞机上午9:30从杭州起飞，中午1:15到达长春。求这架飞机飞行了多长时间？
8、爸爸晚上10:00上班，第二天早晨6:00下班，请问爸爸工作了多长时间？
9、一个商店上午8:00开门，下午6点停止营业，这个商店一天营业了几个小时？
10、小明从家出发去电影院看电影，在路上用10分钟。这场电影从2:15开始，到3:45结束，小明从家出发到回到家中一共用了多少时间？
11、张老师上午7:15到校，中午在学校吃饭，下午4:05离开学校，张老师在学校待了多长时间？
新标准教育
二年级奥数班试题
年龄问题
1、红红今年8岁，妈妈33岁，7年后，妈妈比红红大几岁？
2、兰兰今年11岁，明明5年前的年龄和兰兰2年后的年龄相等。明明今年多少岁？
3、
推荐第8篇：简单的推理(二年级下册)
《简单的推理》
一、导入新课。
1.老师这里有两枚棋子（黑色、白色），任意取出一枚，能猜出吗？ 2.如果我取的不是黑色，能猜吗？（生猜）
3.两枚棋中，取的不是黑色，就是白色。师随机板书：不是„„就是„„ 4.你能用“不是„„就是„„”说一说吗？ 小结：看来，猜的时候我们不能随意地猜
今天这节课我们一起来学习推理，板书：推理。
二、新课教学
出示例题：有语文、数学和品德与生活三本书，下面三人各拿一本书。小红说：我拿的是语文书，小丽说我拿的不是数学书；他们分别拿的是什么书？ 1.读题：从题目中你获取了哪些问题？
先请生读题，师示范读题，结合文字与图进行读图，最后学生齐读题。
2.“有语文、数学和品德与生活三本书，下面三人各拿了一本”这句话是什么意思？ 小组要求：（1）独立思考，
（2）用自己喜欢的方式 记录下来（连线、列表格等）；
（3）把你的想法和同桌同学交流一下。 （1）小组活动。 （2）交流反馈
①出示学生作品（用连线的方法） a.看得懂吗？
b.他是怎么想的？（请2生回答）
生：题目中已经告诉我们小丽拿的是语文书，„„
师在学生活进已经在黑板上板书好，在学生说的时候随机在黑板书连线。 c.和同桌说一说你是怎么想的。 ②出示学生作品（用表格的方法） a.谁能看得懂他是怎么想的？
生：小红拿的是语文书，所以在语文书里打“√”其他就是打“×”„„ 3.小结 ：师：刚才两位同学的方法都是先确定谁的？（语文书） 是的，在这里我们要先抓住关键性的句子，小红拿
三、巩固练习
1.欢欢、乐乐和笑笑是三只可爱的小狗，乐乐比欢欢重，笑舌是最轻的，你能与出它们的名字吗？
7千克
5千克
9千克
（1） 学生独立解决问题
（2） 交流反馈，用连线的方法 先确定最轻的笑笑是5千克， 师：谁听明白了？（再请一生说。）
刚才同学们都是先说笑笑的，为什么不先说乐乐的？请生说。 生：要先知道最轻的，再选„„ 小结：我们要先找关键的信息。 2.游戏——猜图形。 信封里有一个圆，一个三角形，一个长方形。露出一部分，你能猜猜它们是谁吗？
我不是三角形。 3．编信息
书包：
93元
80元
100元 要求：（1）独立思考；
（2）
请记录下信息； （3） 同桌之间进行推理
（1） 生独立编信息，然后同桌之间进行简单的推理。 （2） 出示学生编题：
①1号书包是最贵的，2号书包比3号书包贵，2号书包是几元，3号呢？
生：1号书包是最贵的，所以就是100元，„„（生连说，师在练习纸上连线） ②1号说：我不是93元和100元；2号说：我是100元。 请生说一说
四、课堂作业
写课堂作业本第68页。
五、回顾与小结
师：说一说这节课我们学习了什么知识？
先确定重要信息，再层层分析，然后推导出结果，今天我们学习的只是比较简单的推理，在以后的学习中还要学习稍复杂的推理„„
推荐第9篇：奥数教案
课题 ：应用题的基本数量关系 知识点
用数学的方法解决在生活和工作中的实际问题 ————— 解应用题。 教学目标
1、分析思考题目所包含的数量关系，锻炼思维的灵活性。
2、让学生在学习数学的过程中，感受数学与日常生活的密 切联系，体验数学的价值，增强应用数学的意识。
3、在探索问题解决方法的过程中，发展学生的数学思考能力，培养主动探索的意识。教 学 内 容
【典型例题】
例1：一根绳子原来长20米，第一天剪去3米，第二天剪去的和第一天同样多，剩下的米数比原来短几米？
解题策略：这题要求剩下的米数比原来短几米，通常我们用以下的数量关系来解： 解法一：20－3－3＝14（米） 20－14＝6（米）
有没有更简便的方法呢？聪明的小朋友是否考虑到“剩下的米数比原来短的米数”就是剪去的米数，这样只要用一步计算就能解答。 解法二：3+3=6米
这种方法是不是更简便？
【画龙点睛】
解答应用题时，我们不但要多动脑，分析思考题目所包含的数量关系，还要选择最简便的方法来解答，锻炼思维的灵活性，使我们应得更聪明。
第2课时
【举一反三】
1、水果店有52箱水果，卖出16箱，又运进23箱，现在水果的箱数和原来比多了还是少了？多或少几箱？
2、饲养场养的羊比牛少36只，牛比猪少29只，那么羊比猪少几只？
3、把两条长38厘米的纸条粘在一起，成为一条长72厘米的纸条，中间粘贴部分的纸条长几厘米？
4、小明、小李和小红三个朋友做红花，小明和小李共做27朵，小明和小红共做32朵，小李和小红共做25朵，问：三个小朋友各做几朵？
5、五（1）班有20名少先队员，而五（2）班的少先队员比五（1）班多9名，问两班共有多少少先队员？
6、一道既简单又复杂的题：游戏开始了，请你们快速计算：
一辆载着16名乘客的公共汽车驶进车站， 这时有4人下车，又上来4人； 在下一站上来10人，下去4人； 在下一站下去11 人，上来6人； 在下一站，下去4人，上来4人；
在下一站又下去8人，上来15。
还有，请你们接着计算：公共汽车继续往前开，到了下一站下去6人，上来7人；在下一站下去5人，没有人上来；在下一站只下去1人，又上来8人。
好了，记住你的计算结果，回答：这辆公共汽车究竟停了多少站？（不要重新计算哦）
7、商店共有61千克红糖，第一天卖掉19千克，第二天比第一天多卖4千克，商店还剩多少斤红糖？
8、买来17米布，做床单用去7米，做衣服用的和做床单用的同样多，还剩几米？
9、小王买了一只文具盒花了2元，又买了4个作业本，共
课题 ：两步计算的应用题、用画图法解应用题 知识点
1、用数学的方法解决在生活和工作中的实际问题 ————— 解应用题。
2、用画图来表示题目中的条件，帮助理解题意，正确解答。
教学目标
1、分析思考题目所包含的数量关系，锻炼思维的灵活性。
2、让学生在学习数学的过程中，感学与日常生活的密切联 系，体验数学的价值，增强受数应用数学的意识。
3、在探索问题解决方法的过程中，发展学生的数学思考能力，培养主动探索的意识。教 学 内 容
第一课时： 【典型例题】
例1：小明的钱不到5元（是整角数），如果买6枝铅笔，钱不够， 还少5角。小明原来最多有多少钱？
解题策略：问题求的是“小明原来最多有多少钱”。由题意已知小明原来的钱不到5元，但加上5角后就超过5元，且能被6整除。假设每枝笔8角钱，6枝则是48角，不到5元，所以不能；如果每枝9角，6枝就是54角，再减去少5角，原来最多49角。算式：6×9-5=49（
【画龙点睛】
解答两步计算的应用题，如果不认真思考，提笔就做，很容易出错。所以应该先从条件或问题入手，仔细分析，找出正确的解题方法。
第二课时
【举一反三】
1、一盒糖果，总数不超过20颗，把它们平均分给6个小朋友，还余2颗，这盒糖最多有几颗？最少有几颗？
2、停车场里原来停放的轿车比卡车多12辆，后来轿车开走6辆，卡车开进8辆，这时停车场里哪种车多？多多少辆？
3、有大、小两桶油共重50千克，两个桶都倒出同样多的油后，分别还剩10千克和6千克。大、小两个桶原来各装油多少千克？ 第二课时： 【典型例题】
例2：小明有10枝铅笔，小红有4枝铅笔，要使两人的铅笔同样多，小明要给小红几枝铅笔？
解题策略：我们用图来表示已知条件： 小明： 小红：
从图中我们可以清楚地看到，小明比小红多6枝铅笔，把多出来的6枝铅笔平均分成两份，即6÷2=3，所以小明给小红3枝铅笔后，两人的枝数相同。
【画龙点睛】
用画图法解应用题，特别是解技巧性较强的题，能形象直观地揭示数量关系，使抽象思维与形象思维协同发挥作用，从而构建出解题思维的模式。
第三课时 【举一反三】
1、小明给小红3枝铅笔后，两人的枝数相同。问：小明比小红多几枝铅笔？
2、小红有4枝铅笔，小明给小红3枝铅笔后，两人的枝数相同，小明有几支铅笔？
3、一根12米长的木条，锯3次，每段几米？
4、小红妈妈到水果店买苹果，她的钱若买3斤多1元，若买4斤少1元5角，问妈妈带了多少钱？
6、二（1）班同学做早操，每行人数相等，小李的位置从左边数是第3个，从右边数是第4 个
，从前边数是第4个，从后边数是第2个。问：二（1）班有多少同学在做早操？
课题： 等量代换法 知识点
1、等量代换的思想：相等的量可以互相代替。
2、
2、运用等量代换法来解决生活中的实际问题。
3、在解决等量代换数学问题的过程中，初步体会等量代换数学题的思想方法。教学目标
1．使学生能初步学会等量代换的方法，接受等量代换的思想。 2．培养学生的观察力及初步的逻辑推理能力。
3、让学生在经历解决问题的过程中，获得经验，让学生充分感受生活中处处有数学，数学与生活息息相关，形成我要学好数学的精神风貌。
4、在学习过程中培养学生团结、友好合作，营造和谐共进的氛围。教 学 内 容 第一课时 【典型例题】
例
1、1只河马的体重等于2只大象的体重，1只大象的体重等于10匹马的体重。1匹马的体重是320千克，这只河马的体重是多少千克？
解题策略：
1匹马的体重是320千克，10匹马的体重就是320×10＝3200(千克) ，这也就是１只大象的体重。又知１只 河马的体重等于2只大象的体重，用2只大象的体重代替1只河马，则这只河马体重是3200×2＝6400(千克)
【画龙点睛】
也可以这样想：1只大象的体重是10匹马的体重，即2只大象的体重就等于2个10匹马的体重，即20匹马的体重，因为2只大象的体重与1只河马的体重相等，所以1只河马的体重就是20匹马的体重。320×（2×10）＝6400(千克)
第二课时 【举一反三】
1、已知1个 =3个 , 1个 =5个 。那么1个 =（ ）个
2、△＋△＋△＋□＝25，□＝△＋△。求 △＝？ □＝？
3、一只菠萝的重量等于2只梨的重量，也等于4只香蕉的重量，还等于2只苹果、1只梨、1只香蕉的重量之和。那么1只菠萝等于几只苹果的重量？
4、一条鱼，鱼头重9千克，鱼头重量等于鱼身一半加鱼尾的重量，而鱼身的重量等于鱼头加鱼尾的重量。问：这条鱼重几千克？
第三课时
同步练习
1．一根20米长的木条，把它据成4段，要锯几次？
2．商店有480本练习本，又运来500本，卖出去360本，商店还有多少本练习本？
3．小明的爸爸年龄比妈妈大5岁，妈妈今年38岁，爸爸今年多少岁？小明 出生时妈妈30岁，小明今年是多大？
4．○+○+○=21 ☆-□=38 □+□+□=15 ○+○+□=18 ☆-△=45 △+△+△=12 ○-□=（ ） □-△=（ ） □+△=（ ）
5．一个数加上4，减去4，乘以4，再除以2，结果是2，求这个数。
6．一条毛毛虫从幼虫长成成虫，每天长大一倍，10天时能长到20厘米。问：长到5厘米时是第几天？
2．4瓶水全倒出来能装满3大碗，5杯水正好装满2瓶。装满3大碗要几杯水？20杯水能装满几大碗？
推荐第10篇：一年级简单推理教案
一。课题：
简单推理，数学基础的基础
二。教学要求：
教学生认真审题，仔细分析，进行有根据的推理，做出正确的判断，最终找到问题的正确
答案。
三．教学过程
①引入方式
②新概念如何讲
③例题
1． 小红，小青和小兰个从家里拿来了些书，小红说：“我比小青多5本。”小青说：“我比
小兰少6本。”她们三个人谁的数最多？谁的数最少？
解析：
根据小青说：“我比小兰少6本。”可以认为小兰比小青多6本，再根据小红说：“我比小青
多5本。”就可知道小红，小兰都比小青多，也就是小青最少；再根据与小青比，小红多5
本，小兰多6本，就知道小兰最多，顺序是小兰﹥小红﹥小青。
2． 妈妈买了3本书。妈妈对小强说：“《生命的起源》比《成语故事》厚，《小学生天地>
比《成语故事》薄，《生命的起源》比《小学生天地》厚，这三本书，哪本书最厚？哪本书
最薄?
解析：从《生命的起源》比《成语故事》厚，和《生命的起源》比《小学生天地》厚可
以看出《生命的起源》最厚，《小学生天地》比《成语故事》薄，可以看出《小学生天地》
最薄。
3． 小东，小南，小西，小北四兄弟在比体重，比较结果如下：
①小东比小南轻，②小南比小西轻，③小西比小北重，④小北比小东轻。谁的体重最轻？
解析：
根据小东比小南轻，小南比小西轻，可以知道小东比小南，小西都轻，再根据小北比小东轻
就可以知道小北最轻了。
4． 一个岛上只住着说谎的人和说实话的人两种人。说谎的人句句都是谎话，说实话的人句
句都是实话。一天藤田，大岛和佐藤相互交谈；藤田说：“大岛和佐藤都说谎。”大岛说：“我
没有说谎。”佐藤说：“大岛确实在说谎。”你知道她们有几人在说谎，有几人在说实话吗？
解析：
因为大岛和佐藤的话相反，所以她们两人一定有个人在说谎，另一个在说实话。由此可知藤
田的话：两个人在说谎不成立。所以藤田一定在说谎。于是她们3个人中有2个人在说谎，
1个人在说实话。
④随堂练习
1． 妈妈买回3个球，两个黄的，一个兰的；哥哥妹妹都想要，妈妈让他们背对背坐着，然
后塞给哥哥一个黄的，塞给妹妹1个兰的，把剩下的一个球藏在自己身后；让他们猜她手里
的球是什么颜色，谁猜对就给谁。那么谁一定能猜对呢？
2． 甲乙丙三个老师在喝咖啡，她们分别是语文老师，数学老师和英语老师。现在我们知道：
①甲老师比数学老师高②英语老师比丙和语文老师都矮。她们分别担任什么学科的老师。
3． 甲乙丙三个小朋友分别戴着红，黄，白各一顶帽子，我们知道：①甲说：“我戴的不是
白帽子。” ②乙说：“我戴的不是黄帽子。”③丙说：“我看见甲和乙各戴的是红色和白色的
帽子。”她们各戴的什么颜色的帽子？
4． 赵，钱，孙分别是3位小朋友的姓，根据下面几句话看看她们各姓什么？
①甲不姓赵
②姓钱的不是丙
③甲和乙正在听姓孙的小朋友唱歌
5． 甲乙丙3个学生赛跑，得第一名的不是甲，得第二名的不是丙，乙看见甲和丙都在自己
前面到达终点。甲乙丙3各位同学分别是什么名次？
6． 甲乙丙三人比身高，甲说：“我比乙高”。乙说：“我比丙矮”。丙说：“我比甲高”。他们
谁最高，谁最矮？
7． 有4个球，兰球比黄球大，兰球比黑球小，黑球比红球小。按从大到小的顺序排列出来。
8． 小红，小青和小兰比年龄，小青说：“我比小红大4岁”。小兰说：“我比小青小2岁”。
小红说：“我们三个人的年龄之和是57岁。”她们各有多少岁？
9． 欣欣在文具店买了5支铅笔，4块橡皮，和8个练习本，付给售货员5元钱，售货员找
给他3元5角5分。已知铅笔每支8分，欣欣说售货员找错了，他说的是否正确？为什么？
10． 小李，小周和小郑是同学，后来当了教师，律师和医生，只知道小郑比医生大，小
李和律师不同岁，律师比小周年龄小。她们的职业分别是什么？
11． 甲乙丙三个同学，分别戴着红，黄，白色的帽子，排着队向前走，谁也不回头，乙
能看到一顶红帽子和一顶黄帽子，甲只能看到一顶黄帽子，丙什么也看不到；请把她们的顺
序和帽子的颜色？
12． 甲乙丙丁4个人比高矮，甲说：“我比乙高。”丙说：“丁比乙矮。”丁说：“丙比我
矮。”按高矮顺序排列。
第11篇：简单的推理教案
简单的推理
教学内容： 人教版数学二年级上册第100页的内容。 教材分析：
儿童在生活里，已经积累了一些合情推理的知识经验，只不过没有意识到这是推理的内容而已。有许多内容，与教材所提供的素材相比有过之而无不及。学生基本上能推断出正确答案，但对推断的理由，在清晰、有条理的表达上需加强练习。 例题的教学采取学生独立思考和合作探究的方式教学，着重强调用数学的语言与他人进行交流、讨论，有条理地表达自己的思考过程。 教学目标：
1、经历简单推理的过程，初步获得一些简单推理的经验。培养学生初步的观察、分析、推理能力。
2、进行简单地、有条理地思考，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
3、培养学生大胆猜想、积极思维的学习品质；体会数学思想方法在生活中的用途，激发学生学好数学的信心。 教学重难点：
重点：经历简单推理的过程。 难点：推理依据的叙述。
一，游戏引入，激发兴趣。
1，猜一猜
师：这里有一个盒子，盒子里有一朵花，谁能猜出这朵花是什么颜色的？（学生泛猜）盒子里的花儿的颜色是确定的，为什么你们会有那么多不同的答案？
……
师：好，老师给一个提示：红色和黄色。会是什么颜色呢？（出现两种不同的答案）
师：要想准确猜出球的颜色，有一个统一的答案，怎么办？ （生：老师再要给我们一点提示。）
师：满足你的愿望，第二个提示：不是红色的。 （大家马上猜出是黄色的）
2、猜球游戏：
小朋友看，老师这里有一个白色和一个黄色的乒乓球，现在把它们放到盒子里，我们一起来玩一个猜一猜的游戏，好吗？
师：我摸出其中一个，你猜猜是什么颜色的球呢？（学生有的猜是白色的，有的猜是黄色的。）
师：猜得准吗？老师给你们一些提示吧：我摸出的不是黄球，那我摸出的是什么颜色的球？你是怎么猜的？（盒子里只有白球和黄球，老师摸到的不是黄球，那一定是白球。）
师：那盒子里面的是什么颜色的球呢？你是怎么猜的？（盒子里只有白球和黄球，老师摸出了白球，那剩下的一定是黄球。）（盒子里只有白球和黄球，老师摸出的不是黄球，那黄球一定在盒子里。）（出示）
3、小朋友们很聪明，根据老师的提示能准确地判断出球的颜色，这种方法就是我们今天要学习的简单的推理。（板书：简单的推理） 二、自主探索，领悟新知。
师：刚才我们玩的猜一猜，游戏，一开始，你们的意见一致吗？ 板书：猜。你们又是根据什么去猜意见就一致了呢？ （根据老师提供的有用信息）板书：合理信息----判断-----结论
1、猜两个物体：
（1）师：谁愿意和老师来玩玩？（出示数学书和语文书，找一名学生（黄婷婷）上台）。给你一本书，可不要让大家看见了。（师和生一人分一本书）。
师：你能不能像我刚才那样，给大家一点提示？ （婷婷：我拿的不是数学书。） 师：那么黄婷婷拿的是什么书？老师拿的又是什么书呢？ 说说你是怎么猜的？是根据哪些信息知道结果的？……
师：你们太棒了！能够根据刚才这个同学的话排除数学书，确定语文书。刚才你们用的推理方法叫排除法。
师：现在你们想不想来玩一玩？好，两个人合作，取出小正方体，玩玩这个游戏。
（
1、学生同桌互玩；
2、展示二组）
2、猜三个物体：
师：我们的游戏真好玩，吸引了小文、小华和小明，他们说要考考大家。请看他们出了什么题目？（出示题目） 师：他们分别拿着什么书呢？ 请你先动动脑筋，在练习纸上连一连。（生各自完成连线） 在四人小组里说说你是怎么想的？ 谁愿意把自己的想法告诉大家？（指名说） 师小结：小文拿的是语文书，可以确定了，那么另外两个人拿的分别就是数学书和社会书了，就和刚才的题目一样了，用排除法去猜两种物体了。
三、练习应用，巩固提高。(课后练习)
1、破密码。（黑猫警长在帮助一件物品找失主，谁是失主呢？答案就在密码箱里，密码是由数字6和8组成的两位数，个位上不是8，你能告诉黑猫警长密码是什么吗？）
2、猜下数。（打开密码箱，可箱子里并没有直接告诉谁是失主，箱子里只有一封信，信上说，你要找的人是拍球下数最多的那个。你能帮助黑猫警长找到拍球下数最多的那个人吗？出示信息：人物：小红、小青、小明三人拍球的下数有30下、31下、35下。提示：小红说：我不是拍球最多的那个人。小青说：我拍了30下。）
3、游戏：戴帽子。
师：还想玩游戏吗？老师这里有三顶“帽子”，分别是红色、黄色和蓝色。先听清楚要求：请戴帽子的三个同学闭上眼睛，老师给你们戴上帽子，我说可以睁开时你们可以马上看旁边同学的帽子是什么颜色，然后以最快的速度说出自己帽子颜色的同学就是冠军。明白怎么玩了吗？（这个游戏大家都很喜欢，玩了三次）
四、知识应用。师：刚才同学们说得真好，推理过程表述得十分流畅。现在你们可以四人小组一起来玩一玩，拿出你们的学习用品，可以是三本书或三枝不同的颜色笔等等，请小组的同学猜一猜，可以轮着来玩，轮着猜。看哪个小组玩得最好。 （1）小组自主出题。 （2）四人小组表演, 多棒的四人小组啊！了不起！由于时间的关系，没有请其他的四人小组展示。
四、回顾整理，反思提升：
同学们，这节课上到这已经接近尾声了，今天老师遇到一件很难的事情，能不能得到你们的帮助啊？
我们学校四年级的老师委托我们拍一个上午的课程表，该怎么办呢？ 题目：二年级一班周一上午有语文、数学、英语、体育四门课，这一天， 英语老师有一个2小时的会， 数学老师第三节课外出听课， 体育老师说前三节没有上课。
第12篇：人教版数学二年级下学期简单的推理教案
课题:数学广角----推理（例1）
恒芝学校
陈俊玲
学习目标: 根据已知条件判断推理得出结论，提高观察、分析及推理能力。
二、学习重难点：
重点：经历简单推理的过程，能用分析推理的方法解决简单的问题。 难点：叙述推理的依据。
三、学习过程：
（一）创设学习情境，明确学习目标。（2分钟）
导入语：（游戏猜弹珠。师拿出一颗黑珠子，一颗白珠子，两手各藏一颗。）同学们，你们能猜出我左手拿的是白珠子还是黑珠子吗？生猜。为什么你们一次猜不中呢？在猜事物的时候，根据提示容易猜得准确。现在老师提示我左手拿的不是白珠子，那我的左手拿的是什么珠子呢？
过渡语：根据条件，一步步推出正确的结论，这就是简单的推理。今天我们就来学习数学广角-----含有两个条件的简单推理。
（二）指导独立学习，初步达成目标。（8分钟）
1、自学指导： （1）自学内容：P109 （2）自学方法：
① 认真阅读书本109页的内容，找出有用的数学信息。
②想知道小刚拿的是什么书，你根据什么来猜的？是哪两句话？画出来 ③想知道小丽拿的什么书，你根据什么来猜 （3）自学时间：3分钟。
2、自学检测：试做书中的填空
（1）根据小红拿的是（ ）书，可以推理出小刚拿的只能是（ ）书或者（ ）书，再根据“小丽拿的不是数学书”就可以推理出小丽拿的是（ ），所以小刚拿的是（ ）书。
（2）把人名和书名写成两行，连一连。
小红 小丽 小刚
语文 品德与生活 数学
过渡语：这是有两个条件的推理。根据条件推理时，应该有条理。
（三）引导小组学习，落实学习目标。（20分钟）
1、小组合作学习内容：根据两个条件进行简单推理
2、小组合作学习指南：
⑴再次独立阅读课本109页的内容，认真读题，仔细分析，你能够找到哪些信息和问题？
⑵每三人一小组，每小组三人分别扮演小红小丽和小刚的角色。
⑶思考并讨论推理时，有什么条件？先从哪个条理来推理？
⑷根据小红拿的是语文书，可以推理出小刚拿的只能是（ ）书或者（ ）书。
⑸根据“小丽拿的不是数学书”就可以推理出小丽拿的是（ ）。
⑹所以小刚拿的是（ ）书。
3、小组展示，展示方法（重点、关键及指南）：
各小组通过叙述的方法把自己推理的过程描述出来。注意推理的依据和推理条理。根据一些条件，能确定的先确定，能排除的先排除。 过渡（点拨）语：经过各小组的推理过程，相信大家已经会用推理知识解决一些简单的问题。 学以致用：
有三个小朋友分苹果、梨、桃三种水果。小丽说：“我吃什么都行”，小红说：“我不喜欢吃苹果， 也不喜欢吃桃。”小云说：“我不喜欢吃桃”。想一想，怎么分合适？
总结：在实际生活中，我们用推理的知识解决问题时，需要根据条件来推理，还要有条理地推理。 能确定的先确定，能排除的先排除。
（四） 当堂训练反馈，巩固学习目标。（10分钟）（基础性、层次性及知识的综合应用）
1、小珊和小红喜欢小兔和小狗。， 小珊说：“我不喜欢小狗” 请你猜一猜，小红喜欢什么？
2、有红色、黄色和蓝色三个珠子，下面三人各拿一个。小明说：“我拿的不是红色珠子，也不是黄色珠子。” 小红说：“我拿的不是红色珠子。”
问小明、小红、小芳各拿的什么颜色的珠子？
3、下面的三个同学小军、夏娜和小文做数学题，分别做对了8题、9题和12题中的一种，请你根据各个条件推理出他们各做了多少题。条件
1、小军做对的最多。
条件
2、小文做对的不是最少的。问：小军做对了（ ）题。
夏娜做对了（ ）题。
小文做对了（ ）题。
4、欢欢、乐乐、笑笑三个人比高矮。连一连（从高到矮的名次）。 乐乐：我比欢欢高 欢欢：我排第几呢？ 笑笑：乐乐比我矮
第一名
第二名 第三名 引导学生思考问题（点拨语）：认真读题，先找准题目中的最简单条件，能确定的先确定，能排除的先排除。进行一步一步推理。
（五） 板书设计：
数学广角----推理
小红
语文 能肯定的先肯定，能排除的要排除，有条理地推理。
小丽 数学 小刚 品德与教育
第13篇：人教版二年级数学下册《简单的推理》教案
人教版二年级数学下册《推理》教学设计
教学目标：
1、通过观察、猜测等活动，经历简单的推理过程，初步获得一些简单推理的经验。
2、能借助文字、连线等方式整理信息，强化符号意识，并按一定的方法进行推理。
3、在简单推理的过程中，培养学生初步的观察、分析、推理和有条理地进行数学表达的能力。
4、感受推理在生活中的广泛应用，初步培养学生有序地、全面地思考问题的意识。
教学重点： 能借助文字、连线、表格等方式整理信息，并按一定的方法进行推理。
教学难点： 培养学生初步的有序地、全面地思考问题及数学表达的能力。 教学过程：
（一）激趣引入
1、（1）“瞎”猜
师：老师知道同学们喜欢玩游戏，接下来我们就玩个猜一猜的游戏。
师：（出示课件）小明和小亮是一对双胞胎兄弟，他们长得一模一样。请你猜猜谁是哥哥，谁是弟弟？
（学生乱猜）有同学猜 “小明是哥哥，小亮是弟弟”；有同学猜“小亮是哥哥，小明是弟弟”；也有同学说不能，因为他们长的一模一样；（“肯定”这个词你们觉得妥不妥？“可能”“应该”这个词用得真好！） 生：小明是哥哥，小亮是弟弟 师：这是你的想法。
生：小亮是哥哥，小明是弟弟。 师：你的想法又不同了。
刚才说了两种情况，到底是哪一种呢？你们能确定吗？ （2）“确定”猜。
师：请听老师的提示：小明不是哥哥。现在能猜出来了吗？ 生：小亮是哥哥，小明是弟弟。
师：那你能不能用上因为„„所以„„说说你是怎么猜的吗？ 生：因为小明不是哥哥，就是弟弟，所以小亮是哥哥。 师：为什么小明不是哥哥，就一定是弟弟呢？
生：因为除了哥哥，就是弟弟。小明不是哥哥，就一定是弟弟。 师：听明白了吗？也就是两个里面排除了一个，只剩另一个了。 师：恭喜你，猜对了！
师：哪位小朋友是从不同角度来想的吗？
生：因为小明不是哥哥，小亮就是哥哥，所以小明是弟弟。
师：小朋友们真聪明，能根据老师给你的一条线索，可以从两个角度一步步得出正确的结论。
2、揭题。
师 ：现在我们回想一下，刚才是怎么从两种不确定的情况变成一种确定的情况的？
生：通过小明不是哥哥这个信息猜出谁是哥哥，谁是弟弟。
师：关键的信息我们要把它圈起来，像这样根据已经知道的信息，逐步推出结论的过程，在数学上称为推理。（板书：推理）
师：今天这节课老师就和大家来进行一些简单的推理。
（二）探索新知 课件出示例1 师：从题目中你知道了哪些信息？请带着这个问题轻声读题，知道后马上举手！ 师：“有语文，数学和品德与生活三本书，下面三人各拿一本”这句话是什么意思？
生:：他们每人只能拿一本书。
师：比如小刚拿了语文书，那她（就不能拿数学书和品德书） 师：这句话你是怎么理解的？
生：比如小刚拿了语文书，那小红和小丽就不能拿语文书了。 师：你们理解的真好。
师：到底他们三个人分别拿的是什么书呢？请同学们先独立思考，然后把解决这个问题的过程记录下来，再把你的想法和同桌交流一下，开始。
师：好，请同学们放下手中的纸和笔，坐端正，我们请这位同学来跟大家分享一下思考过程？ 其他同学认真地看，仔细地听。 预设1：书本和人物对应或是文字记录。
生：小红说：她拿的是语文书，小丽说：她拿的不是数学书，那她拿的就是品德书，小刚拿的就是数学书。
师：为什么小丽拿的不是数学书，就是品德书呢？
师：思路很清晰！给他点掌声！这位同学直接用文字记录推理的结果。也是用这种方法的同学举手。你们推理的结果都跟她一样吗？思考过程也一样吗？（另一种角度）你们真不错，都是推理小能手。 预设2：连线法。
师：有不同方法的吗？请这位同学来跟我们分享他的思考过程。
生：小红说：我拿的是语文书，所以把小红和语文连起来，小丽拿的不是数学书，所以我把小丽和品德连起来，剩下的小刚拿的就是数学书。）
师：这位同学把人名和书名写成两行，再根据每一个信息分别连线，用的是连线法，用这种方法的同学举手，厉害，真是推理高手！ 师：还有吗？ 预设3：表格法：
老师这儿还有种方法，你想知道吗？
我们先画好一个表格，然后在里面写好有哪几个人（小红、小丽、小刚），哪3本书（语文、数学、品德与生活）。
小红拿的是语文书，在语文书这里打钩，所以她拿的不可能是数学和品德，这里打叉，而小丽和小刚也不可能拿语文书，在这里打叉。看，通过一条数学信息我们能知道这么多。
谁愿意上来当当小老师给大家讲解下第二条数学信息呢？ 你真勇敢！我们给他一点鼓励！
生：小丽拿的不是数学，我们可以在这里打叉，语文也打叉了，那么小丽拿的就是品德与生活。小刚拿的就不可能是品德书，所以小刚拿的是数学书。 师：说得好不好！我们再次给他掌声！
师：一道题我们用了三种方法，你最喜欢哪一种？可能现在我们还感觉不到表格法的优点，但在数据比较多、复杂的时候我们用表格法就能更好的理清我们的思路。如果这节课你能掌握表格法，你就非常了不起！ 师：好了，现在我们再来回顾下这三种方法，虽然表达的方式不一样，但它们都有一个共同点，推理过程都是从谁开始的？ 生：是从小红开始的。
师：为什么从小红开始呢？
生：因为小红已经告诉我们她拿的是语文书。
师：哇，老师要对你们竖起大拇指！推理就是要能以最快的速度寻找关键信息。我们把这个关键信息圈起来。 师：还有没有其他的重要信息？ 生：有，小丽说他拿的不是数学书。 师：为什么呢你觉得这条信息也很重要？
生：因为根据这条信息我们就能推出另外两个同学拿的各是什么书了。 师： 你的思维真敏捷！老师吧这个信息也圈起来。
小结：看来你们都知道推理秘诀了！我们一起读一遍。在简单推理时，先找到关键条件，能确定的要先确定，能排除的要先排除，再全面地分析，仔细推敲，判断出正确答案。实际推理的时候方法很多，边阅读边思考是推理的好方法，连线法和表格法能让我们的推理过程简洁、直观，我们可以根据需要选择合适的方法。
（三）巩固提升
师：下面我们就利用已经学过的推理知识和方法来闯关吧，你们有信心成功过关吗？ 第1关：
小雨、小东、小松三个人进行跳绳比赛。小松说：“我不是最后一名。” 小东说：“我也不是最后一名，但是小松的成绩比我好。”他们各得了第几名？ 师：现在请你用自己喜欢的方法把推理过程写在本子上 。
师：老师收集了几个同学们的方法（文字、连线、列表），请这几个同学站起来，说说你是怎么判断的？ 师：先确定哪个？（小雨）
生：因为小松不是最后一名，小东也不是最后一名，只剩小雨，所以小雨就是最后一名。小松和小东就是第一名或第二名，那么谁是第一名呢？（小松，因为她的成绩比小东的好，所以她是第一名。）第二名就是（小东）。 师：做对的同学请举起大拇指，恭喜你们闯过了第一关。 第2关：
四个学生A、B、C、D正在上自习，他们当中有一个人在练字，一个人在画画，一个人在写作业，另一个人在看书， 提示：B 没有写作业，也没有练字；
C 不在看书，也不在练字；
D 不在看书，也没在写作业；
A 在专心画画。 他们各自在做什么？
师：请你把思考过程写在练习卷上。开始。 师：谁来跟大家分享你的思考过程？
师：这一关你闯过了吗？再举起大拇指，表扬自己，现在我们要进入到最后一关了。 闯关三：
甲、乙、丙三位老师分别教语文、数学和英语。 已知：
1、每个老师只教一门课。
2、甲上课全用普通话。
3、英语老师是一个学生的哥哥。
4、丙是一位女教师，她比语文老师年轻。请问三位老师各教什么课? 师：这一关可有点难度哦，请同学们细心地在练习卷上推理出他们各教什么课。 生反馈：甲：数学老师。乙：英语老师。欢欢：语文老师。 师讲解表格法。
第三关你过了吗？ 请给自己再加一颗星。
得到三颗星星的同学请举手，我们表扬他们，没有三颗星星星的同学，继续加油！
（四）全课总结
在以后的学习和生活中，我们还会遇到稍复杂的推理，老师相信，只要你们从关键信息出发，善于观察、勤于思考，一定会利用推理解决更多的问题。
第14篇：小学二年级奥数题
二年级奥数题（60道）
班级： 姓名：
1、妹妹今年6岁，哥哥今年11岁，当哥哥16岁时，妹妹几岁？
2、小明从学校步行到少年宫要25分钟，如果每人的步行速度相同，那么小明、小丽、小刚、小红4个人
一起从学校步行到少年宫，需要多少分钟？
3、聪聪参加有奖知识竞答，共10道题。答对一题得10分，答错一题扣10分，聪聪最后得了60分，那
么他答对了几道题？
4、晚上停电，小文在家点了8支蜡烛，先被风吹灭了1支蜡烛，后来又被风吹灭了2支。最后还剩多少支
蜡烛？
5、有16个小朋友在操场上玩捉迷藏游戏，已经捉住了9人，藏着的还有几人？
6、19名战士要过一条河，只有一条船，船上每次只能坐4名战士，至少要渡几次，才能使全体战士过河？
7、布袋里有两只红袜子和两只黑袜子，至少拿出几只，才能保证配成一双同样颜色的袜子？
8、布袋里有形状大小完全一样的篮球和黄球各4个，要保证一次拿出两种颜色不相同的球，至少必须摸出
几个球？
9、跷跷板的两边各有四个铁球，这时跷跷板保持平衡。如果拿掉一个铁球，跷跷板上还有几个铁球？
10、一根电线，对折再对折，最后从中间剪开，剪开的电线一共有几段？
11、布袋里有两只红袜子和两只蓝袜子，至少拿出几只，才能保证配成一双同样颜色的袜子？
12、张老师家住十楼，她从一楼到三楼要走40级台阶，你能算出从一楼到张老师家有多少级台阶吗？
13、时钟在3点时敲3下，用了4秒钟，敲9下用了几秒？
14、有5只大纸箱，每只大纸箱内装有3只中等纸箱，每个中等纸箱内又装有3只小纸箱，大、中、小纸
箱共有多少个？
15、两堆西瓜，从第一堆中拿16个放入第二堆后，还比第二堆多8个，原来两堆西瓜相差多少个？
16、小兰和小华各有24本练习本，小兰给小华几本后，小华就比小兰多了8本，求小兰现在有几本练习本？
17、姐姐有邮票20张，妹妹有邮票8张，姐姐每次给妹妹3张邮票，几次后两人的邮票一样多？
18、28棵树，每个小朋友植3棵，还余1棵，共有几个小朋友？
19、在两根柱子间每隔1米系一个气球，共系了20个气球，两根柱子间距离是多少？
20、两幢房屋之间相距50米，每隔1米站1个小朋友，一共可以站几个小朋友？
21、一根绳子长1米，每隔10厘米打1个结，一共要打几个结？
22、绿化小组在学校的地道两边摆放月季花，起点和终点都要放，每隔1米摆1盆，一共摆了42盆，这条
过道长多少米？
23、两棵树之间相距20米，每隔2米插一面彩旗，一共可以插几面彩旗？
24、学校前后楼之间相距20米，为迎接校庆，准备每隔10分米插一面彩旗，一共需要多少面彩旗？
25、商店新进一批围巾共30条，第一天卖出8条，第二天少卖出4条。两天后还剩多少条围巾？
26、把20个面包装在6个袋子里，其中1袋要多一些，其余5袋一样多。多的那1袋有几个面包？
27、圆形花园中，共摆放了20盆菊花，每两盆菊花之间又摆放了1盆一串红。一共摆放了多少盆一串红？
28、一个长方形水池周长是63米，在水池周围每隔7米栽2棵松树，一共要栽多少棵树？
29、有1元和5元纸币共18张，它们合在一起共有38元，1元和5元的纸币各有几张？
30、鸡、兔同笼，共10个头，26条腿，有几只鸡？几只兔？
31、用0、
1、
2、3能组成多少个不同的三位数？
32、小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得
了85分。小华答对了几题？
33、2，3，5，8，12，(
)，(
)
34、1，3，7，15，( )，63,( )
35、1，5，2，10，3，15，4，( )，( )
36、○、△、☆分别代表什么数？
(1)、○+○+○=18
(2)、△+○=14
(3)、☆+☆+☆+☆=20
37、△+○=9
△+△+○+○+○=25
△=( ) ○=( )
38、有35颗糖，按淘气-笑笑-丁丁-冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？
39、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？
40、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？
41、30名学生报名。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？
42、用6根短绳连成一条长绳，一共要打几个结？
43、2个苹果之间有2个梨，5个苹果之间有几个梨？
44、两箱苹果都重40千克，从第一箱中拿出8千克到第二箱后，第二箱比第一箱多少千克？
45、1千克梨有8个，1千克苹果比1千克梨的个数多1个，妈妈买了2千克梨和2千克苹果，共有苹果和梨多少个？
46、把一杯水倒入空瓶，连瓶共重140克，如果倒入三杯水，连瓶共重260克。空瓶的重量是多少克？
47、二(1)班小朋友排成长方形队伍参加体操表演。红红左看是第6名，右看是第2名，前看是第4名，后看是第3名。二(1)班共有多少个小朋友？
48、学校校门的右边插了8面彩旗，每两面彩旗之间的距离都是2米，从第1面彩旗到第8面彩旗之间共有多少米？
49、一辆公共汽车上有6个空座位。车开到团结站，没有人下车，但上来了9人，空座位还有2个，上车的人中有几人站着？
50、一个三位数，十位上的数字是9，正好是个位数字的3倍，三个数位之和是13。这个三位数是几？
51、从底楼走到3楼，用了24秒；那么从1楼走到6楼，需要几秒？
52、冬冬今年10岁，爸爸今年40岁，冬冬几岁时，爸爸的年龄正好是冬冬的2倍？
53、李奶奶家现有16个鸡蛋，还养了两只每天下一个蛋的母鸡。如果李奶奶家每天都吃4个鸡蛋，她家可以连续吃多少天？
54、一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。问长到5厘米时要用多少天？
55、每3个空瓶可以换一瓶汽水，有人买了27瓶汽水，喝完后又用空瓶换汽水，那么，他最多喝几瓶汽水？
56、小红做计算题时，由于粗心大意，把一个加数个位上的8错误地当作了3，把十位上的6错当成了9，所得的和是138，，正确的和是多少？
57、学校派学生去搬树苗，如果每人搬6棵，则差4棵，如果每人搬8棵，则差18棵，这批树苗有几棵？
58、有人问孩子年龄，回答：\"比爸爸的岁数的一半少9岁。\"又问爸爸的年龄，回答说：\"比孩子的4倍多2岁。\"孩子年龄几岁？
59、哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票后还比弟弟多2张，哥哥原来有邮票多少张？
60、汽车场每天上午8时发车，每隔8分钟发一辆。那么从8时到8时40分，共发了几辆车？
第15篇：二年级奥数100题
二年级奥数100题
1.小明有10元钱，花去的钱数比剩下的多2元，小明花去( )元? 2.有大米216千克，第一天用去34千克，第二天用去比第一天多27千克，第二天用去多少千克大米?还剩( )千克大米? 3.黄花有237朵，黄花比红花多45朵，黄花和红花一共有( )朵？ 4.小明有20支笔，给小立3支后，还比小立多2支，小立原有( )支？
5、按规律填空
① 90，89，87，84，80，（ ），（ ），（ ）。 ②0，2，3，3，6，4，9，5 ，（ ），（ ），（ ）。
6、一堆煤，每次运走8吨，运了5次后还剩24吨，运完这堆煤一共要( )次？
7、一根木料长12米，木工把锯成2米的小段，可以锯成( )段？要锯( )次？
8、一根绳子被剪了5次后，年均每段长3米，这根绳子原来长( )米？
9、把一根木料锯成7段，每锯一次需要2分钟，一共要( )分钟？
10、时钟6点钟敲6下，10钞钟敲完，敲10下需要( )秒
11、爸爸今年是32岁，儿子是4岁，当父子俩年龄之和是50岁时，应该是( )年之后的事？
12、军军今年6岁，妈妈的年龄是军军的5倍，4前年妈妈比军军大( )岁？
13、(1)◈□□△◈□□△◈□□△„„第22个图形是( )。 (2)◈◉□◈◉□◈◉□◈„„第20个图形是( )。
14、一串珠子，按下图这样排列，那么第32颗是（ ）颜色，第44颗（ ）颜色。
———◈—◈—◈—◊—◊—◈—◈—◈—◊—◊—◈—◈—„„
15、电视塔上有一串彩灯，按“红、黄、绿、白”的顺序排列起来，请你算一算，第14盏彩灯是（ ）颜色；第27盏是（ ）、第36盏彩灯是（ ） 颜色。
16、一列数按“1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7„”排列，第50个数字是( )，第96个数字是（ ）。
17、王跃老师把1～64号拼音卡片依次发给甲、乙、丙、丁四个小朋友，第59号卡片应发给（ ）。
18、运动场上有一排彩旗，共34面，按三面红旗，一面黄旗依次排列着，这些彩旗中，红旗有（ ）面，黄旗有（ ）面。
19、甲笼里有28只兔，乙笼里有6只，怎样调整才能使两笼兔子的只数同样多？(兔子总数不变) 20、有两盘桃，从第一盘里拿3个放入第二盘后，两盘桃就同样多，已知第二盘原来有8个桃，第一盘原来有几个桃？
21、两层书架上共有56本书，从下层取20本放到上层后，两层书架上的书同样多。原来上层有几本书？
22、学校有甲、乙两个鸽棚，甲鸽棚里的鸽子比乙鸽棚多21只，从甲鸽棚里捉几只鸽子放入乙鸽棚后，甲鸽棚就比乙鸽棚多3只鸽子？
23二年级两个班各有48人，从二(1)班调了几个女生到二(2)班后，二(1)班就比二(2)班少了12人。现在二(2)班有学生多少人？
24、甲筐里有15个瓜，乙筐里有27个瓜，爷爷又摘回20个瓜放进这两个筐，怎样放才能使两筐瓜的个数同样多？
25、小朋友做操，第一队有15个同学，从第二队调3人到第一队以后，第二队的人数比第一队少6人。第二队原来有多少人？
26、一节地铁车厢里有50位乘客，到王府井站有30人下车，又上来18人，现在车上和原来比，人多了还是少了，多(或少)几个人？
27、商店里每天卖出电脑10台，卖出的彩电比电脑少5台，一个星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？
28、兄弟两人去钓鱼，一共钓了21条，哥哥钓的鱼是弟弟的2倍。哥哥钓了多少条鱼？弟弟钓了多少条鱼？
29、小东有12张生日贺卡，小平和小东有同样多的贺卡，小云的生日贺卡比小平少3张，三人一共有多少张生日贺卡？
30、小红到商店去买铅笔，她的钱若买3枝还剩1角；若买4枝，就差4角小红一共有多少钱
31、二（1）班五位同学50米往返跑成绩是：李明21秒、王强26秒、小华23秒、小刚28秒、小兰20秒，问谁跑的最快，谁跑的最慢？
32、同学们去春游，早上8时出发，下午3时回来，他们共玩了多少时间？
33、上午10时再经过2小时是几时？
34、32个同学去划船，每条船最多只能坐6人，最少需要多少条船？
35、小王用围棋子摆成了一个方阵不论从前往后数，从后往前数，还是从左往右数，从右往左数，正中心的一颗棋子都排在第4算一算，这个围棋子摆的方阵共用了多少个棋子？
36、二年级团体操表演中，小红站的位置是，从前往后数她是第5个，从后往前数她是第7个，从左往右数她是第2个，从右数往左她是第4个，这个方队一共有多少个同学？
37、妹妹今年6岁，哥哥今年15岁，哥哥21岁时，妹妹几岁？
38、欢欢今年12岁，甜甜4年后的年龄和欢欢2年前的年龄相等，甜甜今年几岁？
39、盒子里有红球和白球各8个，最多摸出几个球才能保证有两种不同颜色的球？
40、一只小兔5分钟吃一棵菜，5只小兔同时吃5棵同样大的菜需要几分钟？
41、小花今年6岁，爸爸对小花说：\"你长到10岁的时候，我正好40岁。\"爸爸今年多少岁？
42、动物园里有只长颈鹿，它的年龄数是用最大的两位数减去最小的两位数，再减去最大的一位数后所得的数。这只长颈鹿有多少岁？
43、果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵。桃树和梨树各有多少棵？
44、兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？
45、两个连续奇数的和是36，这两个数分别是多少？
46、有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米。每段各长多少米？
47、甲、乙两个班共有学生110名，如果从甲班调给乙班5名，则两班人数恰好相等。甲、乙两个班原来各有学生多少名？
48、一些书，甲乙两人共27本，乙丙两人共22本，甲丙两人共25本。三人各有多少本？
49、一本书共100页，从前面数第30页是一幅漂亮的插图，如果倒过来数这张插图是第几页？
50、30个小朋友排队去参观，平均分成2队小华排在第一队，她的前面有3人，她的后面有几人？
51、小红今年5岁，小明今年8岁，10年后小红比小明小几岁？
52、小猫爬一棵高10米的树，它一次爬3米，但又向下滑2米，它要爬多少次才能爬上树顶？
53、在一条河堤的一边每隔5米种一棵树，从头到尾一共栽了10棵树，这条河堤长多少
54、在一排15名女同学的队伍中，每两名女同学之间插进1名男同学，请你想一想，可以插进多少名男同学？
55、鸡兔同笼，共有6个头、16条腿，有几只鸡？几只兔？画图说明
56、有35颗糖，按淘气—笑笑—丁丁—冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？
57、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？
58、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？
59、30名学生报名参加课外小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？
60、果园里有桃树12颗，是梨树棵数的3倍，果园里桃树和梨树一共多少棵？ 6
1、.学校门前的一条路长42米，从头到尾栽树，每7米栽一棵，一共能栽几棵？ 6
2、小朋友排队，第一队20人，第二队14人，要使两队人数相等怎么办？ 6
3、4个同学在假期里约定，每两人互通一封信，他们共要写多少封信？ 6
4、.一根绳子长12厘米，把它剪成3厘米长的小段，要剪几次？
65、.8个人吃饭，每人1只饭碗，两人一只菜碗，4个人1只汤碗，一共有几只碗？
66、50个同学参加语文、数学期末测试，每个学生至少有一门是优。语文得优的有39人，数学得优的有42人，语、数都得优的是多少人？
67、一列数按“632405676324056763240567632„„”排列，问第40个数是( )，第60个数是 ( )。
68、一道除法式题，除数是6。小明把被除数的十位数字和个位数字看颠倒了，结果除得的商是4，正确的商该是( )。
69、假设有一种植物，每天长高一倍。20天正好长到20厘米高。请问：长到5厘米时是第几天？
70、一瓶油，连瓶一共重800克，吃去一半的油，连瓶称，还剩550克。瓶原来有多少克油？空瓶重多少克？
本帖最后由 开心自在118610 于 2010-9-14 11:13 编辑
71、“我爱学奥数我爱学奥数„„”依次排列，第33个字是( )。 7
2、2个草莓的重量相当于一个杏的重量，8个杏的重量相当于一个桃的重量，( )个草莓的重量是一个桃的重量。
73、一班、二班共有图书100本，如果一班给二班15本两班图书就一样多了，一班原有图书_____本，二班原有图书_____本？
74、桔子 和苹果共有120个，其中桔子数是苹果数的2倍，求桔子有多少个？苹果有多少个？
75、20只小动物排一排，从左往右数第16只是小兔，从右往左数第10只是小鹿，求从小鹿数到小兔，一共有几只小动物？
76、用0、
1、
2、3能组成多少个没有重复数字的不同的三位数？
77、小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题？
78、把5本书任意放在4个抽屉里，那么必有（ )只抽屉里至少放了两本书。 7
9、有4个人住进了一个3居室的套房，那么至少有（ ）个房间里要住上2个人。
80、二年级有31名小朋友是在4月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？为什么？
81、班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？
82、幼儿园买来四种玩具，每位小朋友可以任选其中的两件(不同种玩具)。问：至少要有几位小朋友才能保证有两位小朋友所选的两种玩具相同？ 8
3、把十只小兔放进九个笼里，那么至少有一个笼里有两只小兔。
84、小明买来5只不同颜色的皮球和小朋友们玩，每位小朋友可以任选其中的两种色彩的球玩(不同颜色)。问：至少要有几位小朋友才能保证有两位小朋友所选的两个球的色彩完全相同。
85、菜场原来青菜比萝卜多7筐，现在又运来14筐萝卜和11筐青菜。现在是青菜多还是萝卜多？多几筐？
86、“六一”儿童节，有24个小朋友分成3组去游园。如果甲组调1人到乙组，再从乙组调3人去丙组，3组人数就相等，原来3组各有多少个小朋友？ 8
7、用数位0，1，2，4，5中的任意俩个数相减可以得到（ ）个不同的差。 8
8、幼儿园门前摆了9盆菊花，想在每两盆菊花之间插3盆玫瑰花。需要多少盆玫瑰花？ 8
9、小英的爸爸给她买了一些故事书，小英先把一半借给了青青，后来又把剩下的一半借给了贝贝，这时小英只剩下了3本。爸爸给小英买回了多少本故事书？ 90一条大鲨鱼，尾长是身长的一半，头长是尾长的一半。已知头长3米，这条大鲨鱼全长有多少米？
91、爸爸今年的年龄是文文的7倍，他们的年龄相加是32岁。爸爸今年（ ）岁。
92、明明和圆圆共有笔2４支，明明的笔是圆圆的3倍。明明有（ ）支笔，圆圆有（ ）支笔。
93、甲、乙、丙三个同学共集邮票63枚，乙的邮票是甲的2倍，丙的邮票是乙的２倍，甲、乙、丙分别有邮票（）、（ ）、（ ）枚。
94、育才小学数学兴趣小组学生68人，其中参加竞赛的人数是没有参加竞赛人数的8倍少4人，参加竞赛的学生有（ ）人。
95、小林今年10岁，他比爸爸小25岁。4年前爸爸是（
）岁。 9
6、姐姐今年是12岁，姐姐3年前的年龄与妹妹2年后的年龄相等。妹妹今年（
）岁。
97、○＋◌＝12，○＝◌◌◌，那么◌＝（
），○＝（
）
98、1只小狗的重量等于2只小兔的重量，4只小猫的重量又等于2只小兔的重量，1只小狗重4千克，1只小猫重（
）千克。
99、已知◌＋◌＋◌＋◌＝◆＋◇，◆＝◇＋◇，◌＝3，那么◆＝（
）◇＝（
）
100、小红有一捆铅笔，她送给了弟弟一半又一支，又给了妹妹剩下的一半又一支，最后自己只剩下一支，小红原有铅笔（ ）支
1。6元；2。61元，121千克；3。429朵；4。12支；5。（1）.（75).(69).(62);(2) .(12)(6)(15)6.8次；7。6段，5次；8。18米；9。12分钟；10。18秒。
答案11。7年；12。24岁；13。正方形；14。白色，黑色；15。黄色，绿色，白色；16.4,7；17。丙；18.26,8；19。从甲笼调11只到乙笼；20.14个 答案：
21。8本；22。9只；23。54人；24。甲框放16个，乙框放4个；25.15人；26。少了，少了12人；27.105台；28。哥哥钓了14条，弟弟钓了7条；29.33张；30。1元6角
答案：
31.小兰最快，小刚最慢；32。7个小时；33。12点；34。6条；35.49个；36。55个；37.12岁；38.6岁；39.9个；40.5分钟。
41.36岁；42。80；43。桃树140棵。梨树120棵；44。哥哥15。弟弟13；45.17.19；46.5.7；47。60.50；48。甲15本。乙12本。丙10本；49.71；50.6人。
51。3岁；52.8次；53.45米；54.14名；55。4鸡2兔；56。丁丁；57。184元；58。5分钟；59.13人；60.16棵 答案：
61.7棵；62。从一队掉3人到二队；63。12封；64。3次；65。14个；66。31人；67。7，4；68。7；69。第18天；70。250克，300克。
71。学；72。16个；73。65.35；74。80,40；75.4；76.18个；77.9题；78.1；79.1；80。能，因为4月份只有30天。 回复 51楼 开心自在118610 答案：
81.29本；82。7位；83。一个；84.11位；85。青菜多，多4筐；86。9.，10,5；87。5；88.24；89.12本；90.21米
91.28岁；92.18,4；93.9,18,18；94.60；95.31；96.7岁；97。3,9；98。1；99.4,8；100.10。
第16篇：二年级奥数训练3160
二年级奥数训练31-60
31、哥哥给了弟弟2支铅笔后还剩5支，这时两人的铜笔一样多，弟弟原来有铅笔()支。
32、林林、红红、芳芳三个小朋友买糖吃。林林买了7粒，红红买了8粒，芳芳没有买。三个小朋友要平分吃，芳芳一共付了1元钱，其中给林林()角，给红红()。
33、三个人吃3个馒头，用3分钟才吃完；照这样计算，九个人吃9个馒，需要()分钟才吃完？
34、环形跑道上正在进行长跑比赛。每位运动员前面有7个人在跑，每位运动员后面也有7个人在跑。跑道上一共有()个运动员.
35、把16只鸡分别装进5个笼子里，要使每个笼子里鸡的只数都不相同，应怎样装？请把每只笼子里的鸡的只数分别填入下面五个方框中。
36、今天红红8岁，姐姐13岁，10年后，姐姐比红红大()岁。
37、汽车每隔15分钟开出一班，哥哥想乘9时10分的一班车，但到站时，已是9时20分，那么他要等()分钟才能乘上下一班车。
38、从底楼走到3楼，用了24秒；那么从1楼走到6楼，需要()秒。
39、二(1)班小朋友排成长方形队伍参加体操表演。红红左看是第6名，右看是第2名，前看是第4名，后看是第3名。二(1)班共有()小朋友。
40、汽车场每天上午8时发车，每隔8分钟发一辆。那么从8时到8时40分，共发了()辆车？
41、一只苹果的重量等于一只桔子加上一只草莓的重量，而一只苹果加上一只桔子的重量等于9只草莓的重量，请问，一只桔子的重量等于几只草莓的重量。
42、有一个天平，九个砝码，其中一个砝码比另八个要轻一些，问至少要称几次才能将轻的那个找出来？
43、按规律填数：
(1)54321 43215 32154 ( ) 154321
(2) 1，2，3() 2，3，4() 3，4，5()
(3)1，4，7，10，( 13)，16，，( 19 )
(4)1，2，3，7，11，16，( )，29 (5)2，5，4，5，6，5，( )，5 (6)7，8，10，13，17，( )28
44、10个一百是( )，10000里面有( )个一千。
45、3572最高位是( )位，读作( )，九千零五十写作( )。
46、一个2分币大约重1( )；小明今年7岁，他的体重约是28( )。
47、90里面有( )个十，290里面有( )个十。
48、百位上的6比十位上的6多( )。
49、49个苹果平均分给9个小朋友，每人分( )个，还剩(）个。
50、判断题(对的在括号里打\"√\"，错的打\"×\")
(1)、一个数除以4，所得的余数最大是3。 ( )
(
2、48÷3×2 = 48÷6 ( )
(
3、一个苹果重120千克。( )
(
4、千位右面一定是万位。( )
51、1米与1克相比( )
A 无法比较 B 1米大 C 1克大
52、积是16的的算式是( )
A 32÷2 B 4×4 C 8+8
53、下面的单位中，不是重量单位的是( )
A 元 B 千克 C 克
54、一个三位数。三个数字的和是26，这个数最大是( )
A 899 B 989 C 998
55、8070读作( )
A 八千七十 B 八千七 C 八千零七十
56、口算
5×8 = 24÷6 =
57、1千克梨有8个，1千克苹果比1千克梨的个数多1个，妈妈买了2千克梨和2千克苹果，共有苹果和梨( )个。
58、一只蜗牛向前爬25厘米，又朝后退15厘米，在朝前爬10厘米，结果前进了( )厘米。
59、小明第一天写5个大字，以后每一天都比前一天多写2个大字，6天后小明一共写了( )个大字。
60、一辆公共汽车上有6个空座位。车开到团结站，没有人下车，但上来了9人，空座位还有2个，上车的人中有( )人站着。
第17篇：小学二年级推理教案
一、创设情境，激发兴趣
1、播放《名侦探柯南》片段。学生观看。
2、师：真相只有一个。真相的得来靠的是什么？ 学生回答：推理。
3、师：名侦探柯南有着极高的推理能力和一颗追求真相的炽热的心，他揭开了一个个谜团，侦破了一个个悬案，成为众多青少年心中的偶像。你们想成为他那样的推理高手吗？ 生：想。
4、让我们先通过一个小测试看看自己的推理能力如何。这儿有两个小玩偶，（师出示两个一模一样的小玩偶，一只手拿一个）他们是一对双胞胎哟。你们知道他们哪个是哥哥，哪个是弟弟吗？ 学生猜测。
5、师：大家虽然都做出了猜测，但都不能肯定，是不是？好吧，我来给大家一个线索——我左手拿的不是哥哥。现在你能说出谁是哥哥，谁是弟弟吗？ 学生思考后回答：左手是弟弟，右手是哥哥。
师：大家真不错，能告诉我你是怎么知道的吗？用“因为。。。。。所以、、、、”说一说吧。 让两三名学生描述推理过程。
师：同学们真是太棒了，能根据一条线索，从不同的角度去思考，从而得到了正确的结论。看来大家都有做柯南的潜质。
二、学习例1，探究新知
师：让我们再来看一个稍微复杂点的推理题。 课件出示例1情境图。
师：从图中你得知了哪些信息？
指名学生说，教师在学生回答的基础上如下板书：
师：请大家四人一组讨论，看看小丽和小刚拿的是什么书。 学生探讨。
师：哪个小组得出了答案？你们是怎么想的？能用“因为、、、、、所以、、、、、”告诉大家吗？ 各组派代表汇报，介绍本组的推理方法及答案。如：
师：大家的叙述条理清晰、思维严谨，非常不错。在我们解决类似的问题时，如果觉得有点理不清，有一些技巧可以使用。
教师引导学生用对应连线的方式来推理，板书：
师：为什么几位同学叙述自己的思考过程时都从“小红拿的是语文书”开始？ 以此使学生体会：推理首先应抓住关键的信息，层层分析，最终推导出结论。
师：推理时一般先找到最关键的条件，由这个条件往往能直接得到一个结论，这个结论可以帮助我们进行下一步的推理。实际推理的时候方法也很多，边阅读边思考是推理的好方法，连线法和列表法能让我们的推理过程简洁、直观，我们可以根据需要选择合适的方法。
三、推理闯关，练习巩固
师：小侦探柯南知道我们学会了推理的方法，非常高兴，出了题目想考考我们。你们有信心接受挑战吗？
第一关
欢欢、乐乐和笑笑是三只可爱的小狗。乐乐比欢欢重，笑笑是最轻的。你能写出它们的名字吗？
第二关
师：大家非常棒，轻松闯过第一关。现在让我们来闯第二关。请大家合上课本，仔细听老师读题，留意其中信息，快速说出答案。 教师读“做一做”第2题 学生抢答
师表扬最先说出正确答案的学生：你真棒！你是怎么知道的？
师：这道题很巧妙地把重要信息隐藏在了文字中。从“小雨下课后去一班找小冬玩”我们可知，小冬是一班的。所以我们不管在生活中还是在学习中，都要留意细节，做个有心人，很多时候答案就在眼前。 第三关
练习二十一第3题
师：我们可以先确定谁？ 指名学生回答
师：
创设游戏
四、全课总结
第18篇：立体几何教案奥数
第九讲 立体几何
知识导航：
在小学阶段，我们除了学习习近平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下：
在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来． 经典例题：
例1：下图是由 18 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。
例2：一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了 2 厘米，表面积就减少 12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积？
例3：一个正方体形状的木块，棱长为 1 米．若沿正方体的三个方向分别锯成 3 份、4 份和 5 份，如下图，共得到大大小小的长方体60 块，这 60 块长方体的表面积的和是多少平方米？
例4：一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积
神经依旧制作贡献 为 26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米。问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
例5：一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱的底面周长是 9.42 米，高 2 米，圆锥的高是 0.6 米．求这个粮囤的体积是多少立方米？
例6：皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为 12 厘米，水桶底面直径为 60 厘米．皮球有一半浸在水中（下图）．问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？
例7：下图所示为一个棱长 6 厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最
神经依旧制作贡献 大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？
课堂练习
1、大、中、小三个正方体形的水缸都盛有缸水，它们的内边长分别为 4 分米、3 分米、2 分米．把两堆碎石分别沉浸在中、小水缸的水中，两个水池的水面分别升高了 4 厘米和 11 厘米．如果将这两堆碎石都沉浸在大水缸中，大水缸中水面将升高多少厘米？
2、一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图．已知一个剖面的面积是 960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4 立方厘米．求原来钢材的体积和侧面积．
3、在一只底面直径是 40 厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10 厘米的圆锥形铸件完全浸于水中．取出铸件后，缸里的水下降 0.5厘米，求铸件的高．
4、在边长为 4 厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为 1 厘米的正方形，洞深 1 厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．
神经依旧制作贡献
5、如下图所示一个零件，中间一段是高为 10 厘米，底面半径为 2 厘米圆柱体，上端是一个半球体，下端是一个圆锥，它的高是 2厘米．求这个零件的体积
6、塑料制的三棱柱形的筒里装着水（如图（1）是这个筒的展开图，图中数字单位为厘米）．把这个筒的 A 面作为底面，放在水平桌面上，水面的高度是 2 厘米（如图（2））问：（1）若把 B 面作为底面，放在水平的桌面上，水面的高度是多少厘米？（2）若把 C 面作为底面，放在水平桌面上，水面高度是多少厘米？
7、有一个圆柱体的零件，高 10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是 4 厘米，孔深5 厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？
神经依旧制作贡献
第19篇：六年级奥数教案
思源学校第二课堂（第六周）
判断与推理 2 授课人：雍尧
教学要求: (1)理解逻辑推理的四条基本规律，学会运用分析、推理方法解决问题。
(2)培养学生逻辑推理能力.教学重点:学会运用分析、推理方法解决问题。
教学难点: 理解、掌握分析、推理方法。
教学方法:讲解法、图表法、练习法。
（一） 教学过程：
一、复习。
上节课的习题例2
二、教学新课 教学例3
甲乙丙三人被蒙上眼睛，告诉他们每个人头上都戴了一顶帽子，帽子的颜色不是红的就是绿的。然后，就去掉蒙眼睛的布，要求每个人如果看见别人（一个或两个）戴的是红帽子就举手，并且谁能断定自己头上帽子的颜色，谁就马上离开房间。三人碰巧戴的都是红帽子，因此三个人都举了手，几分钟后，丙首先走开了，他是怎么推导出自己头上帽子的颜色的？
（1）学生审题，理解题意。 （2）同座位讨论。
（3）分析：此题关键：注意到甲乙两人没有立即离开房间这个事实。 丙推理，我的帽子如果是绿的，甲根据乙举手立即知道自己的帽子是红的，那他应走出房间，乙会做同样的推理离开房间。甲乙不能很快判断自己帽子的颜色，说明我的帽子不是绿的，而是红的。 （4） 说说你的推理过程。
3、比较前面例2例3有什么相同不同之处。
三、巩固练习。教学例4 学田小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计：（1）丙得第一，乙得第二；
（2）丙得第二，丁得第三； （3）甲得第二，丁得第四。
比赛结果一公布，果然是这四名学生获得前四名。但以上三种估计，每一种都对了一半错一半。他们各得第几名？ （1）学生审题，理解题意。 （2）同座位讨论。 （3）分析：利用图表帮助学生去推理判断。
第一种假定“丙第一错，乙第二对”出现矛盾。照此推理“丙第一对，乙第二错”没有出
现矛盾。所以丙第一，甲第二，丁第三，乙第四。 （4）每人口述推理过程。
四、小结。
这节课你学会了什么？
第20篇：奥数教案.doc
第一讲 行程问题
（一）
路程、时间、速度是行程问题的三个基本量，它们之间的关系如下：
路程=时间×速度 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间
这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解。
例1 一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒。已知每辆车长5米，两车间隔10米。问：这个车队共有多少辆车？
分析与解：求车队有多少辆车，需要先求出车队的长度，而车队的长度等于车队115秒行的路程减去大桥的长度。由“路程=时间×速度”可求出车队115秒行的路程为4×115=460（米）。
故车队长度为460-200=260（米）。再由植树问题可得车队共有车（260-5）÷（5+10）+1=18（辆）。
例2骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到。如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？
分析与解：这道题没有出发时间，没有甲、乙两地的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度。这就需要通过已知条件，求出时间和路程。
假设A，B两人同时从甲地出发到乙地，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到。B到乙地时，A距乙地还有10×2=20（千米），这20千米是B从甲地到乙地这段时间B比A多行的路程。因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从甲地到乙地所用的时间是
20÷（15-10）=4（时）。
由此知，A，B是上午7点出发的，甲、乙两地的距离是
15×4=60（千米）。
要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，速度应为
60÷（12-7）=12（千米/时）。
例3 划船比赛前讨论了两个比赛方案。第一个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行比赛时间的一半。这两个方案哪个好？
分析与解：路程一定时，速度越快，所用时间越短。在这两个方案中，速度不是固定的，因此不好直接比较。在第二个方案中，因为两种速度划行的时间相同，所以以3.5米/秒的速度划行的路程比以2.5米/秒的速度划行的路程长。用单线表示以2.5米/秒的速度划行的路程，用双线表示以3.5米/秒的速度划行的路程，可画出下图所示的两个方案的比较图。其中，甲段+乙段=丙段。
在甲、丙两段中，两个方案所用时间相同；在乙段，因为路程相同，且第二种方案比第一种方案速度快，所以第二种方案比第一种方案所用时间短。
综上所述，在两种方案中，第二种方案所用时间比第一种方案少，即第二种方案好。
例4 小明去爬山，上山时每小时行2.5千米，下山时每小时行4千米，往返共用3.9时。问：小明往返一趟共行了多少千米？
分析与解：因为上山和下山的路程相同，所以若能求出上山走1千米和下山走1千米一共需要的时间，则可以求出上山及下山的总路程。
因为上山、下山各走1千米共需
所以上山、下山的总路程为
在行程问题中，还有一个平均速度的概念：平均速度=总路程÷总时间。
例如，例4中上山与下山的平均速度是
例5一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，如果它在三条边上每分钟分别爬行50，20，40厘米，那么蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？
解：设等边三角形的边长为l厘米，则蚂蚁爬行一周需要的时间为 11131（分钟）
502030300蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行
311 3129(厘米）30031
在行程问题中有一类“流水行船”问题，在利用路程、时间、速度三者之间的关系解答这类问题时，应注意各种速度的含义及相互关系：
顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度-水流速度， 静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2， 水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2。
此处的静水速度、顺流速度、逆流速度分别指船在静水中、船顺流、船逆流的速度。
例6 两个码头相距418千米，汽艇顺流而下行完全程需11时，逆流而上行完全程需19时。求这条河的水流速度。
解：水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2=（418÷11-418÷19）÷
2 =（38-22）÷2=8（千米/时）
答：这条河的水流速度为8千米/时。
课堂练习：
1.小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟。若往返都步行，则全程需要70分钟。求往返都骑车需要多少时间。
2.已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒。求火车的速度和长度。
3.某人要到60千米外的农场去，开始他以5千米/时的速度步行，后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场，总共用了5.5时。问：他步行了多远？
课后作业：
姓名：
分数：
1.小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟。已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？
2.汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。
3.两地相距480千米，一艘轮船在其间航行，顺流需16时，逆流需20时，求水流的速度。
4.一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6时，逆流需要8时，水流速度为2.5千米/时，求轮船在静水中的速度。
第二讲 行程问题
（二）
本讲重点讲相遇问题和追及问题。在这两个问题中，路程、时间、速度的关系表现为：
在实际问题中，总是已知路程、时间、速度中的两个，求另一个。
例1甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。
分析与解：先画示意图如下：
图中C点为相遇地点。因为从C点到B点，甲车行3时，所以C，B两地的距离为40×3=120（千米）。
这120千米乙车行了120÷60=2（时），说明相遇时两车已各行驶了2时，所以A，B两地的距离是 （40+60）×2=200（千米）。
例2小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分钟行60米，李大爷每分钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇。有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？
分析与解：因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），
所以小明比平时早出门900÷60=15（分）。
例3小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用18秒。已知火车全长342米，求火车的速度。
分析与解：
在上图中，A是小刚与火车相遇地点，B是小刚与火车离开地点。由题意知，18秒小刚从A走到B，火车头从A走到C，因为C到B正好是火车的长度，所以18秒小刚与火车共行了342米，推知小刚与火车的速度和是342÷18=19（米/秒），
从而求出火车的速度为19-2=17（米/秒）。
例4 铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆拖拉机正以20千米/时的速度行驶。这时，一列火车以56千米/时的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒。求火车的全长。
分析与解
与例3类似，只不过由相向而行的相遇问题变成了同向而行的追及问题。由上图知，37秒火车头从B走到C，拖拉机从B走到A，火车比拖拉机多行一个火车车长的路程。用米作长度单位，用秒作时间单位，求得火车车长为
速度差×追及时间
= [（56000-20000）÷3600]×37
= 370（米）。
例5如右图所示，沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。已知甲每分走90米，乙每分走70米。问：至少经过多长时间甲才能看到乙？
分析与解：当甲、乙在同一条边（包括端点）上时甲才能看到乙。甲追上乙一条边，即追上300米需 300÷（90-70）=15（分），此时甲、乙的距离是一条边长，而甲走了90×15÷300=4.5（条边），位于某条边的中点，乙位于另一条边的中点，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可以看到乙，共需
例6 猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？
分析与解：这道题条件比较隐蔽，时间、速度都不明显。为了弄清兔子与猎狗的速度的关系，我们将条件都变换到猎狗跑12步的情形（想想为什么这样变换）：
（1）猎狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程；
（2）猎狗跑12步的时间等于兔子跑16步的时间。
由此知，在猎狗跑12步的这段时间里，猎狗能跑12步，相当于兔子跑
也就是说，猎狗每跑21米，兔子跑16米，猎狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）。
课堂练习1.A，B两村相距2800米，小明从A村出发步行5分钟后，小军骑车从B村出发，又经过10分钟两人相遇。已知小军骑车比小明步行每分钟多行130米，小明每分钟步行多少米？
2.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子跳4次。兔子跑出多远将被猎狗追上？
3.甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池相对的两个顶点同时出发逆时针行走，两人每分钟分别行50米和46米。出发后多长时间两人第一次在同一边上行走？
课后作业
姓名： 分数：
1.甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米。已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。
2.小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远？
3.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢长的车长是385米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？
4.甲、乙二人同时从A地到B地去。甲骑车每分钟行250米，每行驶10分钟后必休息20分钟；乙不间歇地步行，每分钟行100米，结果在甲即将休息的时刻两人同时到达B地。问：A，B两地相距多远？
第三讲 盈亏问题
人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？
分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为
4×15＋9＝69（粒）。 解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人）， 4×15＋9＝69（粒）。
答：有15个小朋友，分69粒糖。
例2 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖果？
分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。仿照例1的解法即可。 解：（6＋2）÷（4—2）＝4（人），
3×4＋2＝14（粒）。
答：有4个小朋友，14粒糖果。
由例
1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：
分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。
需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
例3 小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？
分析与解：第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16×3＝48（粒），所以盈亏总额是0＋48=48（粒），而两次分配数之差是16—10＝6（粒）。由盈亏问题的公式得
有小朋友（0＋16×3）÷（16—10）＝8（人），
有 糖10×8＝80（粒）。
例4 一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；若每人出7元则少4元。问：有多少个小朋友？东西的价格是多少？ 分析与解：两种购物方案的盈亏总额是8＋4＝12（元），两次分配数之差是10—7＝3（元）。由公式得到
小朋友的人数（8＋4）÷（10—7）＝4（人），
东西的价格是10×4—8＝32（元）。
例5 某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？
分析：本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件“如果增加一条船„„”表示“如果每船坐6人，那么有6人无船可坐”；“如果减少一条船„„”表示“如果每船坐9人，那么就空出一条船”。这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为6＋9=15（人），两次分配的差为9—6＝3（人）。
解：（6＋9）÷（9—6）＝5（条），
6×5＋6=36（人）。
答：有36名学生。
例6在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。问：桥有多高？绳子有多长？ 分析与解：因为把绳子对折余8米，所以是余了8×2=16（米）；同样，把绳子三折余2米，就是余了3×2＝6（米）。两种方案都是“盈”，故盈亏总额为16——6=10（米），两次分配数之差为3-2＝1（折），所以
桥高（8×2-2×3）÷（3-2）＝10（米），绳子的长度为2×10＋8×2＝36（米）。
例7有若干个苹果和若干个梨。如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨。问：苹果和梨各有多少个？
分析与解：容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到。原因在于第一种方案是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨。如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了。将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；
有梨15×2-4＝26（个）。
例8乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟。问：乐乐家离学校有多远？
分析与解：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有50×8＝400（米）；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走（50＋10）×5＝300（米）。所以盈亏总额，即总的路程相差
400＋300＝700（米）。
两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为
700÷10＝70（分），
也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟。所以乐乐家到学校的距离为
50×（2＋70＋8）＝4000（米），
或 50×2＋60×（70—5）＝4000（米）。
课后练习
姓名： 分数：
1．小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？
2．一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运3500千克，那么货物还剩下5000千克；如果每辆汽车运4000千克，那么货物还剩下500千克。问：这个汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？
3．学校买来一批图书。若每人发9本，则少25本；若每人发6本，则少7本。问：有多少个学生？买了多少本图书？
4.小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，那么多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，那么缺12只。问：小红家买来多少只桔子？小红家共有几人？
5.食堂采购员小李去买肉，如果买牛肉18千克，那么差4元；如果买猪肉20千克，那么多2元。已知牛肉、猪肉每千克差价8角，求牛肉、猪肉每千克各多少钱。
第四讲
加法原理
例1从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？
分析与解：一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。
例2旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？ 分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。所以一共可以表示出不同的信号
3＋6=9（种）。
以上两例利用的数学思想就是加法原理。
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法 „„在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有 N=m1+m2+„+mn 种不同的方法。
乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。
例3两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？
分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。
因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况。根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）。
例4用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？
分析与解：本题与上一讲的例4表面上十分相似，但解法上却不相同。因为上一讲例4中，区域A与其它区域都相邻，所以区域A与其它区域的颜色都不相同。本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，如果从区域A开始讨论，那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。
当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有
5×4×3×3＝180（种）。
当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色可选；C有2种颜色可选；D有2种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有
5×4×3×2×2＝240（种）。
再根据加法原理，不同的染色方法共有
180＋240=420（种）。 例5小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？ 分析与解：登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+2＝3（种）„„一般地，登上第n级台阶，或者从第（n—1）级台阶跨一级上去，或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法。因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。
其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89。也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）。
例6沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法？
分析与解：如右上图所示，先标出到C点的走法数，再标出到D点和E点的走法数，然后标出到F点的走法数，最后标出到B点的走法数。共有8种不同的走法。 例7有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？
分析与解：为了便于理解，可以将本题转变为“上15级台阶，每次上2级或3级，共有多少种上法？”所以本题的解题方法与例1类似（见下表）。
注意，因为每次取2或3根，所以取1根的方法数是0，取2根和取3根的方法数都是1。取4根的方法数是取1根与取2根的方法数之和，即0＋1＝1。依此类推，取n根火柴的方法数是取（n-3）根与取（n-2）根的方法数之和。所以，这串数（取法数）中，从第4个数起，每个数都是它前面第3个数与前面第2个数之和。取完15根火柴共有28种不同取法。
课后练习
姓名： 分数：
1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？
2.光明小学
四、
五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。问：共有多少种不同的订法？
3.将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？
4.有一堆火柴共10根，每次取走1～3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同取法，
5.在下图中，从A点沿最短路径到B点，共有多少条不同的路线？
第五讲 还原问题
有一位老人说：“把我的年龄加上12，再用4除，再减去15后乘以10，恰好是100岁。”这位老人有多少岁呢？解这个题目要从所叙述的最后结果出发，利用已给条件一步步倒着推算，同学们不难看出，这位老人的年龄是
（100÷10＋15）×4—12＝88（岁）。
从这一例子可以看出，对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。
例1有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？
分析：这个问题是由
（□×4—46）÷3—10＝4，
求出□。我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘以4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22。 解：［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。
答：这个数是22。
例2小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？
分析：利用还原法。因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为把十位上的8看成3，所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。
解：123-4＋50＝169。
答：正确的结果应是169。
例3学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？
分析：先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36÷（2＋1）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12×2＝24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-6＝18（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有18＋10＝28（棵）。 解：36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）。
答：乐乐最初拿了28棵树苗。
例4甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？ 分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）。根据题目条件，原来各组的图书为
甲组有30＋3＝33（本），
乙组有30—3＋5＝32（本），
丙组有30—5＝25（本）。 上一讲我们讲了还原问题的基本思想和解法，下面再讲一些较复杂的还原问题和列表逆推法。
例5有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？
分析与解：棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚。由此逆推，得到
第三次分之前有1×4＋1＝5（枚），
第二次分之前有5×1＋1＝21（枚），
第一次分之前有21×4＋1＝85（枚）。
所以原来至少有85枚棋子。
例6袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？
分析与解：利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个，第4次操作后有（3—1）×2＝4（个），第3次„„为了简洁清楚，可以列表逆推如下：
所以原来袋中有34个球。 例7一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？
分析：由逆推法知，第二次用完还剩下15＋7=22（米），第一次用完还剩下（22—10）×2＝24（米），原来电线长（24＋3）×2＝54（米）。 解：［（15＋7—10）×2＋3］×2＝54（米）。
答：这捆电线原有54米。
课后作业
姓名： 分数：
1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？
2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。
3.在125×□÷3×8—1=1999中，□内应填入什么数？
4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？
5.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半少7吨，还剩4吨。问：粮库里原有面粉多少吨？
6.有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加半个，第二只猴又拿走剩下的一半加半个，第
三、
四、五只猴照此方式办理，最后还剩下一个桃。问：原来有多少个桃？
第六讲
智取火柴
在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。
例1桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
分析与解：本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根„„由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。
在例1中为什么一定要留给对方4的倍数根，而不是5的倍数根或其它倍数根呢？关键在于规定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此出发，对于例1的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法。
例2在例1中将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？
分析与解：由例1的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7的倍数根火柴，就一定获胜。因为60÷7＝8„„4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍数根火柴，甲必胜。
由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。
例3将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？
分析与解：最后留给对方1根火柴者必胜。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给乙，甲必胜。
由例3看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下（1＋n）的倍数加1根火柴，谁将获胜。
有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。
例4两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？
分析与解：对照例
1、例2可以看出，本例是取火柴游戏的变形。因为50÷（1＋5）＝8„„2，所以要想获胜，应选择先报，第一次报2个数，剩下48个数是（1＋5＝）6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对方，必胜。 例51111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？ 分析与解：本例是例3的变形，但应注意，一开始棋子已占一格，棋子的右面只有1111-1＝1110（个）空格。由例3知，只要甲始终留给乙（1+7=）8的倍数加1格，就可获胜。
（111-1）÷（1＋7）＝138„„6，
所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1。以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下的空格数永远是8的倍数加1。
例6今有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问：先取者有何策略能获胜？
分析与解：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不同。
先取者在35根一堆火柴中取11根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者总可获胜。
请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是35根火柴，那么先取者还能获胜吗？
例7有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那么谁将获胜？
分析与解：根据例6的解法，谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜。
甲先取，共有六种取法：从第1堆里取1根，从第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根。无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜。
课后练习
姓名： 分数：
1.桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？
2.有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取5个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？
3.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？
4.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？
第七讲 逻辑问题
在日常生活中，有些问题常常要求我们主要通过分析和推理，而不是计算得出正确的结论。这类判断、推理问题，就叫做逻辑推理问题，简称逻辑问题。这类题目与我们学过的数学题目有很大不同，题中往往没有数字和图形，也不用我们学过的数学计算方法，而是根据已知条件，分析推理，得到答案。
本讲介绍利用列表法求解逻辑问题。
例1小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？ 分析与解：由题目条件可以知道：小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。由此得到左下表。表格中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。
因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“√”，其余是“×”，所以小李是农民，于是得到右上表。
因为农民小李比小张年龄小，又小李比教师年龄大，所以小张比教师年龄大，即小张不是教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小张是工人，小李是农民，小王是教师。
例1中采用列表法，使得各种关系更明确。为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解题时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。需要注意的是：①第一步应将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；②每行每列只能有一个“√”，如果出现了一个“√”，它所在的行和列的其余格中都应画“×”。
在下面的例题中，“√”和“×”的含义是很明显的，不再单独解释。 例2刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄妹二人不许搭伴。
第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；
第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。问：三个男孩的妹妹分别是谁？ 分析与解：因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明：刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹。由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹。将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表。
刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹。 例3甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。此外：
（1）数学博士夸跳高冠军跳得高；
（2）跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影；
（3）短跑健将请小画家画贺年卡；
（4）数学博士和小画家很要好；
（5）乙向大作家借过书；
（6）丙下象棋常赢乙和小画家。
你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗？
分析与解：由（2）知，甲不是跳高冠军和大作家；由（5）知，乙不是大作家；由（6）知，丙、乙都不是小画家。由此可得到下表：
因为甲是小画家，所以由（3）（4）知甲不是短跑健将和数学博士，推知甲是歌唱家。因为丙是大作家，所以由（2）知丙不是跳高冠军，推知乙是跳高冠军。因为乙是跳高冠军，所以由（1）知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表，便得到下表：
所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，例1四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。陆老师问：“是谁打破了玻璃？”
宝宝说：“是星星无意打破的。”
星星说：“是乐乐打破的。”
乐乐说：“星星说谎。”
强强说：“反正不是我打破的。”
如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破了玻璃？
分析与解：因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假设检验。
假设星星说得对，即玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对了，这与“只有一个孩子说了实话”矛盾，所以星星说错了。
假设乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了。由强强说错了，推知玻璃是强强打破的。宝宝、星星确实都说错了。符合题意。
所以是强强打破了玻璃。
由例1看出，用假设法解逻辑问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设。如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，那么符合题意，假设成立。
例4甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。
甲说：“丙第1名，我第3名。”
乙说：“我第1名，丁第4名。”
丙说：“丁第2名，我第3名。”
成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？ 分析与解：我们以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。
假设甲说的第一句话“丙第1名”是对的，第二句话“我第3名”是错的。由此推知乙说的“我第1名”是错的，“丁第4名”是对的；丙说的“丁第2名”是错的，“丙第3名”是对的。这与假设“丙第1名是对的”矛盾，所以假设不成立。
再假设甲的第二句“我第3名”是对的，那么丙说的第二句“我第3名”是错的，从而丙说的第一句话“丁第2名”是对的；由此推出乙说的“丁第4名”是错的，“我第1名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。
例5甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地。
甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津。”
乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津。”
丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京。”
丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州。”
假定他们每个人都说了两句真话，一句假话。问：不在场的何伟住在哪儿？ 分析与解：因为甲、乙都说“丙住在天津，”我们可以假设这句话是假话，那么甲、乙的前两句应当都是真话，推出乙既住在北京又住在上海，矛盾。所以假设不成立，即“丙住在天津”是真话。
因为甲的前两句话中有一句假话，而甲、丁两人的前两句话相同，所以丁的第三句话“我住在广州”是真的。由此知乙的第二句话“丁住在上海”是假话，第一句“我住在上海”是真话；进而推知甲的第二句是假话，第一句“我住在北京”是真话；最后推知丙的第二句话是假话，第三句“何伟住在南京”是真话。
所以，何伟住在南京。
在解答逻辑问题时，有时需要将列表法与假设法结合起来。一般是在使用列表法中，出现不可确定的几种选择时，结合假设法，分别假设检验，以确定正确的结果。
例6一天，老师让小马虎把甲、乙、丙、丁、戊的作业本带回去，小马虎见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了。现在知道：
（1）甲拿的不是乙的，也不是丁的；
（2）乙拿的不是丙的，也不是丁的；
（3）丙拿的不是乙的，也不是戊的；
（4）丁拿的不是丙的，也不是戊的；
（5）戊拿的不是丁的，也不是甲的。另外，没有两人相互拿错（例如甲拿乙的，乙拿甲的）。
问：丙拿的是谁的本？丙的本被谁拿走了？ 分析与解：根据“全发错了”及条件（1）～（5），可以得到表1：
由表1看出，丁的本被丙拿了。此时，再继续推理分析不大好下手，我们可用假设法。由表1知，甲拿的本不是丙的就是戊的。
先假设甲拿了丙的本。于是得到表2，表2中乙拿戊的本，戊拿乙的本。两人相互拿错，不合题意。
再假设甲拿戊的本。于是可得表3，经检验，表3符合题意。
所以丙拿了丁的本，丙的本被戊拿去了。
丙是数学博士和大作家。
课后练习
姓名： 分数：
1.甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文，乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？
2.徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。
（1）电工只和车工下棋；
（2）王、陈两位师傅经常与木工下棋； （3）徐师傅与电工下棋互有胜负； （4）陈师傅比钳工下得好。
问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？
3.在一次数学竞赛中，A，B，C，D，E五位同学分别得了前五名（没有并列同一名次的），关于各人的名次大家作出了下面的猜测：
A说：“第二名是D，第三名是B。”
B说：“第二名是C，第四名是E。”
C说：“第一名是E，第五名是A。”
D说：“第三名是C，第四名是A。”
E说：“第二名是B，第五名是D。”结果每人都只猜对了一半，他们的名次如何？
第八讲 抽屉原理
如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。
同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。
抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
说明这个原理是不难的。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理1成立。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件物品。这就说明了抽屉原理1。
例1某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？ 分析与解：1996年是闰年，这年应有366天。把366天看作366个抽屉，将367名小朋友看作367个物品。这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。
例2在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？ 分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。
将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。
例3在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？
分析与解：根据例2的讨论，任何整数除以3的余数只能是0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。
第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍，故能被3整除，所以这三个数之和能被3整除。
第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0，1，2。因此这三个数之和能被3整除。
综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。 例4在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？
分析与解：把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）。
将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉。现在将这11个点放到这10个抽屉中去。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米。
所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米。
例5有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？ 分析与解：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。
对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：
（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），
其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性。
将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。
先看一个例子：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。道理很简单。如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2。
抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
说明这一原理是不难的。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m件，这样，n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。这与多于m×n件物品的假设相矛盾。这说明一开始的假定不能成立。所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1。
从最不利原则也可以说明抽屉原理2。为了使抽屉中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（m＋1）件物品。这就说明了抽屉原理2。
不难看出，当m＝1时，抽屉原理2就转化为抽屉原理1。即抽屉原理2是抽屉原理1的推广。
例6某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？
分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件，122=3×40＋2。应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。 例7一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？ 分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。
例8六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？
分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。
订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；
订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；
订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。
总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。因为100＝14×7＋2。根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的。
课后练习
姓名： 分数：
1.某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？
2.班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？
3.在任意三个自然数中，是否其中必有两个数，它们的和为偶数？
4.幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？
5.一兴趣小组有10名学生，他们都订阅甲、乙两种杂志中的一种或两种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？
第九讲 高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋„＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝„＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，„，100；
（2）1，3，5，7，9，„，99；
（3）8，15，22，29，36，„，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋„＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，„，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋„＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，„，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋„＋99＝？
分析与解：3，7，11，„，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。 例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。 解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋„＋15）×1
2 ＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（厘米2）。
（2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+„+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里„„第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球„„第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋„＋2×10
＝2×（1＋2＋„＋10）
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋„＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
课后练习
姓名：
分数：
1.计算下列各题： （1）2＋4＋6＋„＋200；
（2）17＋19＋21＋„＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋„＋50；
（4）3＋10＋17＋24＋„＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？
第十讲 鸡兔同笼问题与假设法
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。 例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。 解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），
有鸡16-6＝10（只）。
答：有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），
有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。 例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？
分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？
分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以
买普通文化用品 24÷8=3（套），
买彩色文化用品 16－3＝13（套）。
例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。
现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。 解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），
有鸡100——30=70（只）。
答：有鸡70只，兔30只。
例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？
分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。 解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），
大瓶有50-30＝20（个）。
答：有大瓶20个，小瓶30个。
例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。
解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。
答：这批钢材有720吨。
例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？
分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。 解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
答：共打破3只花瓶。
例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小乐每分钟跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），
小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
780——270×2＝240（下）。
课后练习
姓名： 分数：
1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？
2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？
3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？
4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？
第十一讲 定义新运算
我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
例1 对于任意数a，b，定义运算“*”： a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。
根据以上的规定，求10△6的值。
3，x>=2，求x的值。 分析与解：按照定义的运算，
=2，
x=6。
由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。
分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。
四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。
按通常的规则从左至右进行运算。
例5已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
分析与解：这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。
a※b=（a+b）-（a-b）
=a+b-a+b=2b。
所以，9※2=2×2=4。
由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。
例6定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，
其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
（1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？
（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，
即新运算“⊙”符合交换律？
分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×
2 =65+2k，
所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定义的新运算是：a⊙b=3a+5ab+4b。
8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，
5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。
因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。
（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有
3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，
3a+kb-3b-ka=0，
3×(a-b)-k(a-b)=0，
(3-k)(a-b)=0。
对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。
当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即 a⊙b=b⊙a。
例7 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。
（1）求12☆21的值；
（2）已知6☆x=27，求x的值。
分析与解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；
（2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。
因为6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28， 29， 30， 33。这四个数中只有 30是 6的倍数，所以 6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。因为a×b=[a，b]×（a，b），
所以6×x=30×3，由此求得x=15。
课后练习
姓名： 分数：
1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。
2.已知a
3.已知a
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。 b表示（a-b）÷（a+b），试计算：（
53）
（10
6）。 b表示a除以3的余数再乘以b，求1
34的值。
（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。
第十二讲 奇偶性
整数按照能不能被2整除，可以分为两类：
（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如
0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，„
（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如
1，3，5，7，9，11，13，15，17，„
整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：
（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。
（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。
（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。
（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。
（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。
因为（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；
因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。
（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。 例1下式的和是奇数还是偶数？
1+2+3+4+„+1997+1998。
分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质（2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。1～1998中共有999个奇数，999是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。
例2 能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。
分析与解：等号左端共有9个数参加加、减运算，其中有5个奇数，4个偶数。5个奇数的和或差仍是奇数，4个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。
例3 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于99999？
分析与解：假设这两个五位数的和等于99999，则有下式：
其中组成两个加数的5个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于 9+9=18，竖式中和的个位数是9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于9。同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等于9。所以组成两个加数的10个数码之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇数。
另一方面，因为组成两个加数的5个数码完全相同，所以组成两个加数的10个数码之和，等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍，是偶数。
奇数≠偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999，所以假设不成立，即这两个数的和不能等于99999。 例4 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？
分析与解：盲目的试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为5只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数0。也就是说，不可能使7只杯子全部杯口朝下。 例5 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？
分析与解：当m是奇数时，（m-1）是偶数。由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m-1）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。
当m是偶数时，（m-1）是奇数。为了直观，我们先从m= 4的情形入手观察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如下：
由上表看出，只要翻转4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不动，就可达到要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。对于m只杯子，当m是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转m次，并且依次保持第1，2，„，m只杯子不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。
综上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当m是奇数时，无论翻转多少次，m只杯子不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态。
课后练习
姓名： 分数：
1.能否从四个
3、三个
5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？
2.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。这位同学的计算有没有错？
3.一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，„
第十三讲
列方程解应用题
有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。此时，如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含有未知数x的等式，即方程。利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。 例1商店有胶鞋、布鞋共46双，胶鞋每双7.5元，布鞋每双5.9元，全部卖出后，胶鞋比布鞋多收入10元。问：胶鞋有多少双？
分析：此题几个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来。
设胶鞋有x双，则布鞋有（46-x）双。胶鞋销售收入为7.5x元，布鞋销售收入为5.9（46-x）元，根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程。
解：设有胶鞋x双，则有布鞋（46-x）双。
7.5x-5.9（46-x）=10，
7.5x-271.4+5.9x=10，
13.4x=281.4，
x=21。
答：胶鞋有21双。
分析：因为题目条件中黄球、蓝球个数都是与红球个数进行比较，所以
答：袋中共有74个球。
在例1中，求胶鞋有多少双，我们设胶鞋有x双；在例2中，求袋中共有多少个球，我们设红球有x个，求出红球个数后，再求共有多少个球。像例1那样，直接设题目所求的未知数为x，即求什么设什么，这种方法叫直接设元法；像例2那样，为解题方便，不直接设题目所求的未知数，而间接设题目中另外一个未知数为x，这种方法叫间接设元法。具体采用哪种方法，要看哪种方法简便。在小学阶段，大多数题目可以使用直接设元法。
例3某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的2倍，计划修建住宅若干座。若每座住宅使用红砖80米3，灰砖30米3，那么，红砖缺40米3，灰砖剩40米3。问：计划修建住宅多少座？
分析与解一：用直接设元法。设计划修建住宅x座，则红砖有（80x-40）米3，灰砖有（30x+40）米3。根据红砖量是灰砖量的2倍，列出方程
80x-40=（30x+40）×2，
80x-40=60x+80，
20x=120，
x=6（座）。
分析与解二：用间接设元法。设有灰砖x米3，则红砖有2x米3。根据修建住宅的座数，列出方程。
（x-40）×80=（2x+40）×30，
80x-3200=60x+1200，
20x=4400，
x=220（米3）。
由灰砖有220米3，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。
同理，也可设有红砖x米3。留给同学们做练习。
例4教室里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。问：最初有多少个女生？
分析与解：设最初有x个女生，则男生最初有（x-10）×2个。根据走了10个女生、9个男生后，女生是男生人数的5倍，可列方程
x-10=[（x-10）×2-9]×5，
x-10=（2x-29）×5，
x-10=10x-145，
9x=135，
x=15（个）。
例5一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：
还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球。问：共有多少人参加测验？
分析与解：设有x人参加测验。由上表看出，至少投进3个球的有（x-7-5-4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数，
0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）
= 5+8+6×（x-16）
= 6x-83，
也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数，
3×（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1，
= 3×（x-8）+24+36+10
= 3x+46。
由此可得方程
6x-83=3x+46，
3x=129，
x=43（人）。
例6甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元。求每人可免费携带的行李重量。
分析与解：设每人可免费携带x千克行李。一方面，三人可免费携带3x千克行李，三人携带150千克行李超重（150-3x）千克，超重行李每千克应付4÷（150-3x）元；另一方面，一人携带150千克行李超重（150-x）千克，超重行李每千克应付8÷（150-x）元。根据超重行李每千克应付的钱数，可列方程
4÷（150-3x）=8÷（150-x），
4×（150-x）=8×（150-3x），
600-4x=1200-24x，
20x=600，
x=30（千克）。
课后练习
姓名： 分数：
还剩60元。问：甲、乙二人各有存款多少元？
2.大、小两个水池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水。已知大池容积是小池的1.5倍，问：两池中共有多少吨水？
3.一群小朋友去春游，男孩每人戴一顶黄帽，女孩每人戴一顶红帽。在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍。问：男孩、女孩各有多少人？
4.教室里有若干学生，走了10个女生后，男生人数是女生的1.5倍，又走了10个女生后，男生人数是女生的4倍。问：教室里原有多少个学生？
