《方差》教学设计（精选多篇）

推荐第1篇：方差数学教学设计

知识与技能

1、了解方差的定义和计算公式。

2.理解方差概念的产生和形成的过程。

3.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。

过程与方法

经历探索方差的应用过程，体会数据波动中的方差的求法，积累统计经验。

情感态度与价值观

1、通过小组活动，提高与人合作、交流的团队意识。

2、培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义。

掌握方差的概念、公式、计算及其运用

理解方差的意义，会求一组数据的方差。

问题与情境

师生行为设计意图

活动一

课前小测：

1、什么是极差？

2、极差用来描述数据的什么性质？

教师检查学生小测题的情况，并注意存在的问题。检查学生对上一节课基础知识的掌握情况，也为本节课的学习做一些铺垫。

活动二

自主探究：

请同学们阅读课本第138—140页的内容，回答下列问题：

1、哪个队参赛选手年龄的波动大？你是怎么知道的？

2、我们除了用极差来度量数据波动大小，是否还有其它方法呢？学生先独立阅读、思考，小组再进行讨论、交流。教师进行巡视，关注学生的情况，并适当给以答疑。培养学生的阅读能力和自学能力。提高学生合作交流意识。

活动三

思考与交流：

1、方差的定义是什么？谁能用自己的话概括一下。

2、方差的计算公式是什么？

3、方差的大小与数据的波动大小有何关系?学生先独立思考，小组再进行讨论、交流。师生共同归纳本节课的知识点。 通过这个活动，提高学生的概括成归纳能力。让学生经历数学知识的形成与应用过程。

活动四：

例题讲解

在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm ）分别是甲团 163 164 164 165 165 165 166 167乙团 163 164 164 165 166 167 167 168哪个芭蕾舞团女演员的身高更为整齐？

拓展训练：1、计算下面三组数据的方差，并比较波动大小。A组：6 6 6 6 6 6B组：5 5 6 6 6 8C组：3 3 6 6 9 9

2、如果样本方差那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .

3、一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是（ ）A、等于a B、不等于a C、大于a D、小于a

４、国家运动员在参加奥运会前都要经过刻苦训练，教练要对他们的成绩进行统计分析，判断他们的成绩是否稳定，则教练需要知道他们成绩的（ ）Ａ、众数 Ｂ、方差Ｃ、平均数 Ｄ、中位数

５、甲同学和乙同学的５次数学测验成绩的平均分都是９３分，s２甲＝0.8 s２乙=12,则＿＿＿的成绩比较稳定。教师让学生先自学课本，然后再点评，着重突出方差反映的是数据波动的大小。

5个小题都是比较基础的题目，教师可充分放手让学生去自主完成。由于题目较简单，教师重点留意班级成绩基础稍薄弱的同学进行辅导。使学生通过对知识点的运用，加深对知识点的理解，并对所学知识得以巩固和强化。前几个小题的设置主要是检查学生能否正确地计算和简单运用方差的知识来解决问题。是属于基本过关考查。考查学生思考、总结的综合能力，培养学生思维能力，同时也是对前后知识的一种综合归纳。

活动五

谈谈你在本节课的收获？

学生思考，回答。通过此环节，使学生对本节的内容进行及时复习，得以巩固。

活动六

课后作业必做题：课本第144页第1题选做题：若已知一组数据的平均数是 ,方差是s2 ,那么另一组数据的平均数是 ( ) , 方差是( ).学生根据自己的情况，有选择性地完成课后作业。通过分层次作业，关注学生的个体差异，使不同的学生得到不同的发展。

推荐第2篇：方差教学反思

方差教学反思

素质教育目标

（一）知识教学点

使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差.

（二）能力训练点

1．培养学生的计算能力.

2．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.

（三）德育渗透点

1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.

2．渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.

（四）美育渗透点

通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，提高学生对数学美的鉴赏力.

重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：方差概念.

2．教学难点：方差概念.3．教学疑点：学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚.

4．解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况.教学步骤

（一）明确目标

前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算.

这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解.

（二）整体感知

对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差.

（三）教学过程

1．请同学们看下面的问题：（用幻灯出示）

两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米） 机床甲 40 39．8 40．1 40．2 39．9 40 40．2 39．8 40．2 39．8

机床乙 40 40 39．9 40 39．9 40．2 40 40．1 40 39．9

上面表中的数据如图所示

教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？

对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算）

计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米．这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察上图（给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别）从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．这

说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．

教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）．

通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准

2．方差概念

教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：

设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，那么我们用它们的平均数，即用

③

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．

在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义方差？（教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？（教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）．

在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好．

教师范解

从 知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.

这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识.

3．例1 （用幻灯出示）已知两组数据：

甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

分别计算这两组数据的方差.

让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算.

解：根据公式②（取 ），有

从 知道，乙组数据比甲组数据波动大.

4．标准差概念

在有些情况下，需要用到方差的算术平方根

④

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.

教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系：

计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便.

课堂练习

教材P165中（1）、（2）

（四）总结、扩展

知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念既有联系又有区别.

方法小结：求一组数据方差的方法；先求平均数，再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的方差，然后再求方差的算术平方根.

布置作业

教材P173中1，2（1）（2）

板书设计

14．3 方差

（一）

方差公式③

引例

例1

标准差公式④

推荐第3篇：方差 教案设计

方差 教案设计

教学设计示例1 第一课时 素质教育目标 (一)知识教学点

使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差.(二)能力训练点 1.培养学生的计算能力.2.培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.(三)德育渗透点

1.培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.2.渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.(四)美育渗透点

通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，岣哐???STRONG数学美的鉴赏力.重点难点疑点及解决办法 1.教学重点：方差概念.2.教学难点 ：方差概念.3.教学疑点：学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据

第 1 页 的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢?为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢?对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚.4.解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况.教学步骤 (一)明确目标

前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本(或一组数据)和总体的另一类特征数方差、标准差及其计算.这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解.(二)整体感知

对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差.(三)教学过程

1.请同学们看下面的问题：(用幻灯出示)

第 2 页 两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，记录

教师引导学生做出表格，观察表里的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢? 对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数.教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数.(请两名同学到黑板计算) 计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米.这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗?不能!我们再观察上图(给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别)从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多;机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近.这 说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好.教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小).通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准 备.

第 3 页 2.方差概念

教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：

设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，那么我们用它们的平均数，即用

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差.一组数据方差越大，说明这组数据波动越大.教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握.在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义方差?(教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消)为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方?(教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的功能上，方差更强些)为什么要除以数据个数n?(是为了消除数据个数的影响).在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好.教师范解

从 知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10

第 4 页 个零件直径波动要大.这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识.3.例1 (用幻灯出示)已知两组数据： 甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7 乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 分别计算这两组数据的方差.让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算.解：根据公式②(取 )，有

从 知道，乙组数据比甲组数据波动大.4.标准差概念

在有些情况下，需要用到方差的算术平方根

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系：

计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便.课堂练习教材P165中(1)、(2) (四)总结、扩展

知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于一组数据，

第 5 页 有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小;而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念既有联系又有区别.方法小结：求一组数据方差的方法;先求平均数，再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的方差，然后再求方差的算术平方根.布置作业

教材P173中1，2(1)(2) 板书设计 14.3 方差(一) 方差公式③ 引例 例1 标准差公式④ 教学设计示例2

一、教学目的

1.使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差.2.使学生了解样本方差、样本标准差、总体方差的意义.

二、教学重点、难点

重点：方差、标准差、样本方差、样本标准差、总体方差的意义.难点：样本方差、样本标准差的计算.

三、教学过程

第 6 页 复习提问

计算一组数据的平均数有哪些方法? 引入新课

在很多实际问题中，只知道一组数据的平均数是不够的，还需要知道这组数据的波动大小.如何了解数据的波动大小?这正是我们要解决的问题.新课

引例 两台机床同时生产直径是40毫米的零件.为了检验产品质量，从产品中抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)：

表中数据表成如下形式：

可在此处让学生用公式②分别计算这两组数据的平均数(还可提问学生a取什么值最好，这样学生能在教师的启发下得到a=40最合适).当学生算出如下平均数：

让学生思考，两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米时，甲、乙两机床性能是否都一样好?提出问题让学生议议后，再引导学生看图1，让学生认识到机床甲生产的零件的直径与规定尺寸编差较大，偏离40毫米线较多;机床乙生产的零件的直径与规定尺寸的偏差较小，比较集中在40毫米线的附近.这说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好.这反映出，对一组数据，除需要了解它们的平均水平以外，

第 7 页 还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小).在此处要告诉学生：描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法.本课介绍方差即是一种方法.即：

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差.要强调一组数据方差越大，说明这组数据波动越大.条件许可时，还可介绍③式可表示为：

接下来可以请两个学生计算引例中机床甲、乙两组数据的方差.从0.0260.008可以比较出，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.(接下来教师再给出如下例题.) 例1 已知两组数据： 分别计算这两组数据的方差.讲此例后，要强调求解步骤为：

(1)求平均数;(2)求方差;(3)比较方差得出结论.此后接前面问题说，用来衡量一组数据的波动的方法还可用一组数据的标准差，即

公式④(即标准差)也是用来衡量一组数据波动大小的重要的量.在本节引例中，两组数据的标准差，可让学生算一下，得出： 说明：计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便.

第 8 页 小结

1.本课学了计算一组数据的方差的公式③.

2.本课在方差的基础上又学了计算一组数据的标准差的公式④.

练习：选用课本练习题.作业 ：选用课本习题.

四、教学注意问题

要注意通过例题讲好求方差题目的解题格式.教学设计示例3

一、教学目的

1.使学生进一步理解方差、标准差的意义.2.使学生掌握利用简化公式计算一组数据的方差的方法.3.使学生会根据同类问题两组数据的方差(或标准差)比较两组数据的波动情况.

二、教学重点、难点

重点：简化计算一组数据的方差公式.难点：利用方差(或标准差)比较两组数据的波动情况.

三、教学过程 复习提问

1.什么是一组数据的方差、标准差? 2.一组数据的方差和标准差应如何计算? 引入新课

第 9 页 我们看到，用公式③计算一组数据的方差比较麻烦.那么，有否较简便的计算方法呢? 新课

教师应在黑板上进行如下推导：

推导上述公式后，可让学生仿①～④四个公式的方法归纳推理出如下结论：

一般地，如果一组数据的个数是n，那么它们的方差可以用下面的公式计算：

在这时，教师要强调：当一组数据中的数较小时，用公式⑤计算方差比公式③计算少了求各数据与平均数的差一步，因此比较方便.例2 计算下面数据的方差(结果保留到小数点后第1位)： 3 -1 2 1 -3 3 教师可让学生共同来完成此例.接下来教师按教材指出，当一组数据较大时，可按下述公式计算方差：

其中x1=x1-a，x2=x2-a，，xn=xn-a，x1，x2，，xn是原已知的n个数据，a是接近这组数据的平均数的一个常数.为使学生对公式⑥加深印象，可让学生用公式⑥解下例.例3 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测验成绩如下(单位：分)：

哪个小组学生的成绩比较整齐?

第 10 页 解后，指出解题步骤有如下三步： (3)代入公式⑥计算方差并比较得解.小结

1.本课介绍了当一组数据中的数值较小时，用以计算方差的简化计算公式⑤.

2.本课又学习了当一组数据中的数值较大时，用以计算方差的简化公式⑥.

练习：选用课本练习题.作业 ：选用课本习题.补充作业

2.甲、乙两组数据的方差之和为13，标准差之和为5，且甲的波动比乙的波动大，求它们各自的标准差.(答案：S甲=3，S乙=2.) 3.在某次数学考试中，甲、乙两校各8个班，不及格的人数分别如下：

分别计算这两组数据的平均数与方差.

四、教学注意问题

要注意给学生讲如下三点：

1.方差与标准差是衡量样本和总体波动大小的特征数.2.用简化计算公式求方差较为方便.3.对同类问题的两组数据，方差小的波动小、方差大的波动大

第 11 页

第 12 页

推荐第4篇：方差初中数学教案

素质教育目标

（一）知识教学点

使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差.

（二）能力训练点

1．培养学生的计算能力.

2．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.

（三）德育渗透点

1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.

2．渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.

（四）美育渗透点

通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，提高学生对数学美的鉴赏力.

重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：方差概念.

2．教学难点：方差概念.

3．教学疑点：学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚.

4．解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况.

教学步骤

（一）明确目标

前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算.

这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解.

（二）整体感知

对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差.

（三）教学过程

1．请同学们看下面的问题：（用幻灯出示）

两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米） width=40>机床甲 width=39>40 width=39>39．8 width=39>40．1 width=39>40．2 width=39>39．9 width=39>40 width=39>40．2 width=39>39．8 width=39>40．2 width=39>39．8 width=40>机床乙 width=39>40 width=39>40 width=39>39．9 width=39>40 width=39>39．9 width=39>40．2 width=39>40 width=39>40．1 width=39>40 width=39>39．9

上面表中的数据如图所示

教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？

对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算）

计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米．这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察上图（给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别）从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．这

说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．

教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）．

通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准

备．

2．方差概念

教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：

设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ，那么我们用它们的平均数，即用

③

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．

在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义方差？（教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？（教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）．

在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好．

教师范解

从 知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.

这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识.

3．例1 （用幻灯出示）已知两组数据：

甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

分别计算这两组数据的方差.

让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算.

解：根据公式②（取 ），有

从 知道，乙组数据比甲组数据波动大.

4．标准差概念

在有些情况下，需要用到方差的算术平方根

④

推荐第5篇：样本方差证明

一弛，

你好！

样本方差有2种表达方式：

S2

n1n(Xi)2-----（1） ni1

1n

Sn1(Xi)2-----（2） n1i12

从理论上说这2种定义都是可行的，现实生活中更经常使用方程（2），是因为方程（2）是总体方差真实值2的无偏估计量，而（1）是有偏估计量。无偏性在应用中非常重要，估计量只有无偏才能保证在样本数目足够大时无限趋近于真实值，估计才有意义。证明方程（2）的无偏性如下，思路是对估计量求期望，看是否等于总体方差：

n1E(Sn1)E[(Xi)2]n1i1

n1E{[(Xi)()]2}n1i1

nn12E{[(Xi)2(Xi)()n()2}n1i1i12

n1{E(Xi)22nE()2nE()2}n1i1

n1{E(Xi)2nE()2}n1i1

212{nn()}n1n

2

证毕。

如果有问题，可随时联系我。

祝好！

陈谢晟

推荐第6篇：20.2.2方差教案

20.2.2 方差（第一课时）学案

设计人：伍启明

教师寄语：相信自己，你是最棒的！

学习目标：

1、理解方差的意义，掌握如何刻画一组数据波动的大小。

2、掌握方差的计算公式并会初步运用方差解决实际问题。

3、通过实践观察，掌握衡量一组数据波动大小的方法和规律，逐步形成解决问题的基本策略和方法。

学习重点：理解方差的意义，熟练运用方差公式进行方差计算，并能运用方差衡量一组数据波动大小。

学习难点：理解方差的意义，准确记忆方差公式。 学习过程：

一、前置准备：

在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下： 甲队 26 25 28 28 25 28 26 28 27 28 乙队 28 27 25 28 27 26 28 27 27 26 （1） 计算两队参赛选手的极差？

（2） 你能说出两队参赛选手年龄的波动大小吗？

二、新课学习：

1、为了直观看出甲乙两队参赛选手年龄的分布情况，请完成下列图形：

2、从图中你能看出哪些信息？

3、运用方差公式计算甲乙两队参赛选手年龄的方差 解：

4、认真观察散点图和上述计算结果思考：用一组数据的方差来刻画它的波动大小有什么规律？

5、通过例题学习，用一组数据的方差来刻画数据波动大小的解题步骤是什么？

三、巩固提高：

1、填空题：

（1）一组数据：2，1，0，x，1的平均数是0，则x= .方差S22（2）如果样本方差S .14(x12)(x22)(x32)(x42)，

2222那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .

2、选择题：

（1）样本方差的作用是（ ）

A、估计总体的平均水平B、表示样本的平均水平

C、表示总体的波动大小 D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小 （2）一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是（ ） A、等于a B、不等于 a C、大于 a D、小于a 3.甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是（ ） 甲：0、

1、0、

2、

2、0、

3、

1、

2、4 乙：

2、

3、

1、

2、0、

2、

1、

1、

2、1 分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？

四、思维拓展：已知x1,x2,x3的平均数x10，方差S23，则2x1,2x2,2x3的平均数为 ，方差为 .

五、课堂小结：

（1）本节课学到了什么？

（2）本节课还有哪些疑问？

推荐第7篇：澳大利亚方差投资介绍

一、澳大利亚房产投资介绍澳大利亚是全球最适合人类居住的国家之一，自然和人文环境优越。澳大利亚面积为 780万平方公里，相当于中国面积的80%，东海岸与中国时差2小时。澳大利亚人口约为2100万，来自世界200多个国家，属传统的移民国家, 华裔居民人数已超过八十万，中文已成为第二语言。大部分人居住在主要的14个城市里，其中悉尼、墨尔本、布里斯班为前三大城市，均为世界上最适宜居住的城市之一。

澳大利亚始终保持英国正统的教育风格，教育机构和课程均具有世界级水平，在世界上最富裕的国家里，澳洲的教育体系被认为最有效和最能负担的起的。澳洲实行13年义务教育，小学、中学和大学的教育机制完整，仅2100万人口就造就了10位诺贝尔奖得主。新移民子女可享受公立学校的免费教育，小学已经开设中文选修课。各大学入学率和教学质量均列世界前茅，如国立大学、墨尔本大学、悉尼大学、新南威尔士大学、昆士兰大学以及出过三个获得诺贝尔奖的阿德莱德大学等都是排名在世界前茅的。

澳大利亚实行全民免费医疗和最低收入保障制度，医疗体系健全，居民享受全方位的医疗保障，在公立医院住院、治疗、住院期间的饮食都是免费的。澳洲对残疾人士、失业者和退休人员有良好的照顾。整个国家的犯罪率很低，对生活居住及孩子的成长都很有益。

移民敞开大门 享受高额福利

从2003年澳洲移民放宽政策至今，已有逾万名中国公民成功移民澳洲，并通过自己的努力做起了生意，房地产买卖和各类产品的进出口等利润额很可观。澳洲移民政策是向中国优秀人才敞开大门的，新移民法适用于中国大部分类型的商业人士，包括私营企业主、外资公司、合资企业、上市公司、国有和集体企业的老总和副总，凡经营达到一定销售额的都可以申请。同时专业的炒股、炒期货、炒外汇人士也可以申请。只要申请者符合条件，成功办理后，不仅可以享受和当地人一样的待遇，还有一系列的移民优惠政策。至于今后的全家养老、医疗和教育问题，澳洲世界一流的福利制度、医疗技术和教育体系也让移民者和家人大为放心。

监管严格

房产购买资金一律打入政府监管的Trust Account帐户，专款专用。

服务完善

地产物业代理负责房屋的买卖和出租；律师负责办理土地及房产过户登记等法律事务；会计师负责日后的税务安排，帮助买房人合理避税。买房人有权随时视察房产。

二、澳大利亚房产购房置业解答

为什么要在澳洲投资？

澳大利亚被认为是世界上政治稳定，风险最低的国家，以及经济弹性最好的国家。她的国内生产总值持续保持超越世界平均水平的发展速度，以及她的产品在不同领域市场都有需求量。以及在法律方面，澳洲的法律体系仅次于美国和英国。

外国人可以投资澳大利亚房产吗？

当然可以。澳大利亚政府鼓励外国人投资；澳大利亚的健全法律体系保护海外购房者的利益，在澳大利亚投资购置房产的业主拥有地产永久的所有权。而在中国业主只是拥有70年房产使用权。

澳洲房地产增值前景如何？

澳大利亚的经济专家们分析认为：促进升值因素将长期存在，并预期从目前到2012年，澳洲房地产将再翻一番。

澳洲房地产会不会贬值？

有澳洲房产协会的详细数据做参考，过去的45年里，澳洲房地产平均每七年翻一番，所以长线来看，不会出现房地产贬值的情况。

投资澳洲房地产的理由？

a.稳定的升值与投资回报，分散投资、降低风险；b.充分利用银行贷款，银行贷款可以只还利息不还本金；c.购买手续简便、可靠。

如何解决看房和房产交易的问题？

地产投资取决于市场环境，买投资房不同于自住房，投资房产只考虑“投资回报”和“风险”两个因素，应减少感情因素；自住房投入的感情因素较多，注意理性分析，在投资前或投资后，澳风国际地产可以协助客户获得短期456商务签证到澳洲实地考察。

澳洲政府有哪些针对海外投资者的规定？

海外投资者只可以购买澳洲12个月内新开发的住宅房产（工业和商业地产无此限制），澳洲规定新住宅房项目的50%可以出售给海外投资者。

投资澳大利亚房地产能直接办理移民吗？

不能直接移民，但是会对成功移民有很大的帮助。通常有投资能力的人在很大程度上会具备相关的移民条件，在澳洲投资拥有资产是商业移民和退休移民类别的必要条件，具体情况应由注册移民律师进行个案评估。

可以由子女继承房地产吗？

法律规定是可以由子女继承的，并且没有遗产税。

海外投资者向银行的贷款比例是多少？

依据客户的条件不同，最低首付为20%，一般建议客户首付30-40%，这样租金就足够还贷款，不必再贴钱供房了。

澳大利亚买房可以贷款吗？

可以。但要注意，澳大利亚贷款方式中有可以选择“每月只还利息，不还本金”的方式，最长可以只付利息5年，大大缓解投资人的还款压力。此方式是贷款政策成熟稳定的一种表现。同时，可使投资者以最小的投入换取最高的回报。

如何申请办理贷款？

客户提供个人身份和收入证明等相关资料后，由澳风国际负责帮助客户向银行办理贷款。

交费的大致程序是什么？

根据客户购买的房产的性质的不同而有变化：

情况1.投资或购买的房产是公寓式期房；汇款分为二次 A: 定金3000-5000澳元 B：房价的10%+律师费等相关费用等 （等房子盖好后，才涉及贷款等事宜）。

情况2.土地+别墅 (购买土地后由开发商盖房)；汇款分为三笔A：定金3000-5000澳元； B：土地价30%的首付款（其余由贷款银行提供）+银行贷款的相关费用；C：别墅造价30%的首付款（其余由银行提供）+相关契税

情况3.现房（包括公寓和别墅）；汇款分为二笔A：定金3000-5000澳元； B：房产30%的首付款（其余由贷款银行提供）+银行贷款的相关费用+相关契税（政府印花税等）

客户在购房过程中共涉及3个帐户：a、买方律师信用账户；b、卖方律师信用账户；c、贷款机构为购房者个人开立的结转房贷差额的银行账户。

是否有产权证书？

有澳大利亚政府审鉴的合法的地契及产权证书。

房屋出现质量问题怎么办？

A、房地产开发商会有7年的结构担保；B、同时，澳洲规定房地产开发商都要先行交纳关于房屋质量方面的保险，保期7年。如有问题，保险公司会负责赔偿；C、澳大利亚有一套严格的房屋交付使用的标准法规和严格程序，地方政府专员要对交工的房产检验，买卖双方律师及房屋经纪公司共同验收合格后签字。

除房款外，还需什么费用？

根据所购房产的价格位置区域不同所交纳的税费不尽相同。税主要是印花税，例如悉尼印花税3%左右；费用支出主要是律师费、贷款费、年利息、地税及水费、楼宇管理费、租务代理费、保险等，具体费用情况会由买方律师进行详细计算并出具清单。

投资的房子好出租吗？

A、澳洲租赁市场非常活跃而且发展成熟，与租赁方面相关的法规相当完善，住宅空置率仅为2%～4%左右，相比较于北京高达35%的空置率而言，澳洲房产的租赁风险小的多。B、选择发展商包租3年，之后由租房中介代理出租。

购买或投资澳大利亚房产后，还需要哪些费用需要支付？

情况1.购买的是公寓，日常需要支付的有: 物业管理费，水费，市政费，占购房价的1%左右。 情况2.购买的是独栋别墅，日常需要支付的有：水费，市政费，占购买房价的0.5%左右。

如何租赁和出售房产？

由投资人授权房屋经纪公司代办租赁和出售事宜。

三、“以房养学” -送子澳洲留学新理念

送孩子去澳大利亚留学，是租房还是买房，一直困扰着很多留学生家长。对家长来说，动辄一年十万元人民币的租金，真是一笔不小的开支，选择合适的住宿方式就显得尤为重要。澳风国际推出的“以房养学”理念，让一些有财力、有远见的家长开始成为这种理念的首批受益者。

这种以在当地买房的方式，省去了孩子留学期间的租金支出；同时将多余的房间出租，可获一定租金回报以支持平时的生活开支；另外可以从长期的房屋增值中获得较好的回报，赚回孩子留学几年的学费。

“以房养学”对留学孩子也有诸多好处：为孩子留学营造舒适温馨的学习环境，避免因为经常搬家造成动荡的生活环境；培养孩子的独立生活能力，让孩子从小学会理财，经营所居住的物业，合理分配租金收入；适时合理的投资，还能有很好的收益；为将来的移民申请做好足够的资产证明。

目前，澳大利亚主要城市的楼市由于租售市场的高需求以及房源低供应等原因，房屋价格和租金一直处于持续上涨期。及早购置一套价格适中、交通便利的物业为孩子出国深造、投资做准备不失为明智之举。

澳风国际地产诚征全国各地区澳洲房产销售代理商/加盟商/代理销售代表！ 欢迎咨询：010-87582405，13810801783周先生！

推荐第8篇：n次方差的证明

n次方差公式的证明方法

n次方差公式：

anbn(ab)(an1an2ban3b2abn2bn1)，nN

证法一：

anbnanan1ban1ban2b2an2b2.....abn1bn

an1(ab)an2b(ab).....bn1(ab)(ab)(a

证法二： n1an2b.....bn1)

b设等比数列an的通项公式为an，则其前n项和为：

a

nbnbb1b123n1nabbbaab(anbn)bb......nbaaaaba(ab)aa1a23n1n na(ab)bbbbb故：anbn......baaaaan (ab)an1an2ban3b2......abn2bn1

推荐第9篇：离散型随机变量的方差教案

离散型随机变量的方差

一、三维目标：

1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2、过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

二、教学重点：

三、教学难点：

四、教学过程：

（一）、复习引入：

1..数学期望

则称 Ex1p1x2p2„xnpn„为ξ的数学期望，简称期望．2.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

3.期望的一个性质: E(ab)aEb

5、如果随机变量X服从二项分布，即X ～ B（n,p），则EX=np

（二）、讲解新课：

1、(探究1) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？111122 X2334101

4321102103104102

(探究2)某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？

s21[(x1x)2(xix)2(x2 n

nx)]

s21

[(12)2(12)2(12)2(12)2(22)2

10

(22)2(22)2(32)2(32)2(42)2]1

s24(12)23(22)22(32)2110101010(42)2

2、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X的分布为：

则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,„n)相对于均值EX的偏离程度，而n

DX (x2iEX)pi

i

1为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度。我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根DX叫做随机变量X的标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。

（三）、基础训练

求DX和DX解：EX00.110.220.430.240.1

2DX(02)20.1(12)20.2(22)20.4(32)20.2(42)20.11.2

= 40 000 ;

DX.21.09

5（四）、方差的应用

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。解：EX19,EX29DX10.4,DX20.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10环。

问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？

问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？

问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？

解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得

EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1= 1400 ,

DX1 = (1200-1400) 2 ×0.4 + (1400-1400 ) 2×0.3+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0.

1EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,

DX2 = (1000-1400)2×0.4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l

= 160000 .因为EX1 =EX2, DX1

（五）、几个常用公式：

（1）若X服从两点分布，则DX=p(1-p）。 （2）若X～B(n，p)，则DX=np(1-p) （3）D（ax+b）= a2DX； (六）、练习：

1、已知318

，且D13,则D

2、已知随机变量X的分布列

求DX和 DX

3、若随机变量X满足P（X=c）=1,其中c为常数，求DX。

(七)、小结：

1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义

2、记住几个常见公式：

（1）若X服从两点分布，则DX=p(1-p）。 （2）若X～B(n，p)，则DX=np(1-p) （3）D（ax+b）= a2DX； (八)、作业：P69

1、4

推荐第10篇：高考数学方差必考知识点总结

高考数学方差必考知识点总结有哪些内容呢？我们一起来看看吧！以下是小编为大家搜集整理提供到的高考数学方差必考知识点总结，希望对您有所帮助。欢迎阅读参考学习！

高中数学知识点之方差定义

方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。

高中数学知识点之方差性质

1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动);

2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);

3.若X、Y相互独立，则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为

当X、Y相互独立时，，故第三项为零。

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n

(n表示这组数据个数，x

1、x

2、x3……xn表示这组数据具体数值)

高中数学知识点之方差的应用

计算下列一组数据的极差、方差及标准差(精确到0.01).50，55，96，98，65，100，70，90，85，100.

答：极差为

100-50=50.

平均数为

2017年高考数学方差必考知识点

一.方差的概念与计算公式

例1 两人的5次测验成绩如下：

X: 50，100，100，60，50 E(X )=72;

Y: 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72.

平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。

方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是

消除符号影响

方差即偏离平方的均值，记为D(X )：

直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里 是一个数。推导另一种计算公式

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动

二.方差的性质

1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);

2.D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);

证：

特别地 D(-X ) = D(X )， D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)

3.若X、Y 相互独立，则

证：

记则前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为

当X、Y 相互独立时，故第三项为零。

特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数，x

1、x

2、x3……xn表示这组数据具体数值)

三.常用分布的方差

1.两点分布

2.二项分布

X ~ B ( n， p )

引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)

3.泊松分布(推导略)

4.均匀分布

另一计算过程为

5.指数分布(推导略)

6.正态分布(推导略)

7.t分布 ：其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

8.F分布：其中X~F(m，n)，E(X)=n/(n-2);

正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的。

例2 求上节例2的方差。

解 根据上节例2给出的分布律，计算得到

工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

方差的定义：

第11篇：二项分布的期望与方差的证明

二项分布的期望与方差的证明

二项分布是概率统计里面常见的分布，是指相互独立事件n次试验发生x次的概率分布，比较常见的例子。种子萌发试验，有n颗种子，每颗种子萌发的概率是p，发芽了x颗的概率就服从二项分布。

如果还是迷茫，就听我说说故事，在古代，大概明末清初的时候，瑞士有个家族，叫伯努利家族，出了很多数学家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比较喜欢做试验，他的试验有特点，是一系列的试验，没发生就是失败，而且每次的成功概率都是p，若果失败了就是q=(1-p)，只有这两种情况，后来人们给了这除了成功就是失败的性质一个比较抽象的名称，叫相互对立事件。在这些试验中，每次得出的结果与其他次试验都不发生关系，同样人们也给了这种不发生关系的性质一个比较抽象的名称，叫相互独立事件，同时把这种试验叫做伯努利试验。在n次伯努利试验中，发生x次的概率满足二项分布。

如果令q=(1-p)，那么很容易得出发生x次的概率为C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因为决定该分布的只有n、p，所以为了简单起见，人们把x服从n，p的二项分布记做x～B(n，p)。

现在的目标是计算二项分布的期望和方差，在网上寻找二项分布的期望和方差大都给一个结果，np、npq，很难找到它是怎么来的。好不容易查到，还是花钱才能看的，就那几步过程，有必要藏着盖着吗？今天我把过程写出来，让大家都了解了解，都是原创，互相学习，希望支持。

首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，方差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外还有一个常见的量叫做标准差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根据方差的概念，可知： Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ

=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ

=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)

=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2) 所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面计算数学期望, Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)

=n*p*(p+q)^(n-1) =n*p

如果要计算方差，根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出结果，过程如下， Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2

=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ) － n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1) *q^(n-ξ) － n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ ，n}＋C{ξ ，n}*q)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ ，n}*q－(C{ξ ，n}－C{ξ-1，n-1})]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]

=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ ∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]

=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]

=n*p*[n*q－(n-1)*q]

=n*p*q

以上就是二项分布的期望与方差的证明，过程比较简单，就是一个思路，要想更深入的领悟，就须要自己亲自地证明一遍了，也许你的方法将会更简单……

第12篇：n次方和及n次方差公式

n次方和及n次方差公式

（1）n次方差公式：

anbn(ab)(an1an2ban3b2abn2bn1)，nN

（2）n次方和公式：

anbn(ab)(an1an2ban3b2abn2bn1)，nN，n为奇数

注意：n为偶数时，没有n次方和公式

实际上，

nnab,n为奇n1n2n32n2n2n1n1(ab)(aabab(1)ab(1)b)n nab,n为偶

即n为偶数时，立方和公式有两个：

anbn(ab)(an1an2ban3b2abn2bn1)

(ab)(a

常用公式：

1.平方差公式：ab(ab)(ab)

2.立方差公式：ab(ab)(aabb)立方和公式：ab(ab)(aabb)

3.四次方差公式：

n3322332222n1an2ban32babn2bn1) a4b4(ab)(a3a2bab2b3)(ab)(aababb)n13223 4.x1(x1)(x

x1(x1)(x

nxn2xn3x1)，nN xn2xn3x1)，nN，n为奇数 n1

第13篇：二项分布的期望和方差的详细证明

二项分布的期望的方差的证明

山西大学附属中学韩永权

离散型随机变量的二项分布:

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(k)Cnkpkqnk，（k0,1,2n q1p）

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cnkpkqnk＝b(k；n，p)．

1 求证：服从二项分布的随机变量的期望Enp.

kk1证明如下：预备公式：kcnncn1

00n10n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10(pq)n1(cnc1cn...cnq...cnq)1pqn1pq1pq1p1p

kkkknk因为p(k)cnp(1p)nkcnpq,

00n1n122n2kknkn0n所以 E0cnpq1c12cnpq...kcnpq...ncnpq npq

00n110n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10=np(cnpqcpqcpq...cpq...cq) 1n1n1n1n1p

=np(pq)n1np

所以Enp

方法二：

证明：若 X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。

若设Xi1如第i次试验成功i1,2,0如第i次试验失败n

则XX1X2...Xn，因为 P(Xi1)P，P(Xi0)1Pq

所以E(Xi)0q1pp，则E(X)E[Xi]E(Xi)np

i1i1nn

可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。

2 求证：服从二项分布的随机变量的方差公式Dnpq(q1p)

1k2预备公式：k2CnknCnk1n(n1)Cn2

kk1k1k2CnknCn)1]Cn1n[(k11

k1k12kk1k2k1k2nCn)Cn1n(k1)Cn1nCn1n(n12 kCnnCn1n(n1)Cn2

22方法一：证明：DE(E)

iiniEi2Cnpq 2

i0

nnn

Cpq1

nn1nC

i2

ni1n1pqinii2inin(n1)Cn 2pqi2

npqn1npC

i1i1n1pqi1ninpCq0n1n1n(n1)p2Ci2ni2n2pi2qni

npqn1np(pq)n1npqn1n(n1)p2(pq)n2

npqn1npnpqn1n(n1)p2npn2p2np2np(1p)n2p2npqn2p2

22由公式D(X)E(X2)[E(X)]2知，DE(E)

npqn2p2(np)2np(1p)

方法二： 设~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。

若设Xi

n1如第i次试验成功i1,2,0如第i次试验失败n 则i是n次试验中“成功”的次数，E(i)0q1pp， i1

故 D(i)E(i2)[E(i)]2pp2p(1p)， i1,2,,n 由于1,2,...,n相互独立，于是

nD()D(i)np(1p) i1

第14篇：计量经济学随机项方差无偏估计量的证明

ˆi，是完全可以计因为，样本残差可以看作是总体随机项的估计量，而样本残差iyiy

算的，因此，可以用样本残差的方差来估计总体随机项的方差。

我们目的是得到的无偏估计量，因此，我们需要确定样本残差平方和的自由度fe，使得

2

i2

2（3.4.3） E

fe

由于0，所以，上式等价于

i2

2（3.4.4） E

fe

可以证明fen2，其中n是样本容量。下面给出证明：

第15篇：如何理解方差和标准差的意义

如何理解方差和标准差的意义？ 随机变量X的方差为:D(X)E(X-E(X))2 ,方差的平方根D(X)称为标准差，它描述随机变量取值与其数学期望值的离散程度，描述随机变量稳定与波动，集中与分散的状况。标准差大，则随机变量不稳定，取值分散，预期数学期望值的偏离差大，在量纲上它与数学期望一致。

在实际问题中，若两个随机变量X,Y,且E(X),E(Y)E(X)E(Y)或E(X)与E(Y)比较接近时，我们常用D(X)与D(Y)来比较这两个随机变量。方差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明他较为集中。同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值预期期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。

随机变量X的数学期望和方差有何区别和联系？

1.随机变量X的数学期望E(X)描述的是随机变量X的平均值，而方差D(X)刻画的是随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度。方差D(X)大，则随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度大，随机变量X取值在数学期望附近分散；方差D(X)小，则随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度小，随机变量X取值在数学期望附近集中。

2.方差D(X)E(X-E(X))2是用数学期望来定义的，方差D(X)是随机变量X函数(X-E(X))的数学期望，所以，由随机变量函数的数学期望的计算公式我们得到： 2（1） 若X为离散型，则有（2.3） （2） 若X为连续型，则有（2.4）

3.在实际问题中，我们经常用D(X)E(X-E(X))2来计算方差。由此可以得到：随机变量X与数学期望E(X)不存在，则方差一定不存在。 4.若随机变量X与数学期望E(X)存在，方差也可能不存在。

切比雪夫不等式的意义是什么？有哪些应用？

切比雪夫不等式有两种等价形式的表达形式：P(XE(X))1P(XE(X))1D(X)D(X)D(X)2或2。它反映了随机变量在数学期望的邻域的概率不小于。如果随机变量的分布不知道，只要知道它的数学期望和方差，我们就可以利用2切比雪夫不等式估计概率。 它的应用有以下几个方面：

（1） 已知数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计在数学期望的邻域的概率。

（2） 已知数学期望和方差，对确定的概率，利用切比雪夫不等式求出，从而得到所需估计区间的长度。 （3） 对n重贝努力试验，利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。 （4） 它是推导大数定律和其他定理的依据。

解题的具体步骤：

首先，根据题意确定恰当的随机变量X，求出数学期望E(X)与D(X)； 其次，确定0的值，

最后，由切比雪夫不等式进行计算和证明。

注:

（一）相关系数的含义

1.相关系数刻画随机变量 X和Y之间的什么关系？ （1）相关系数也常称为“线性相关系数”。这是因为，实际相关系数并不是刻画了随机变量X和Y之间的“一般”关系的程度，而只是“线性”关系的程度。这种说话的根据之一就在于，当且仅当X和Y有严格的线性关系是才有|XY|达到最大值1.可以容易举出例子说明：即使X和Y有严格的函数关系但非线性关系，|XY|不仅不必为1，还可以为0.

（2）如果0|XY|1，则解释为：随机变量X和Y之间有一定程度的“线性关系而非严格的线性关系”

2.相关系数XY刻画了随机变量X和Y之间的“线性相关”程度.3.|XY|的值越接近1, Y与X的线性相关程度越高; 4.|XY|的值越近于0, Y与Y的线性相关程度越弱.5.当|XY|1时, Y与X的变化可完全由X的线性函数给出.6.当XY0时, Y与X之间不是线性关系.7.上面谈到的“线性相关”的意义还可以从最小二乘法的角度解释：（p95）

2设eE[Y(aXb)],称为用aXb来近似Y的均方误差,则有下列结论.

设D(X)0,D(Y)0, 则a0小.

cov(X,Y)D(X),b0E(Y)a0E(X)使均方误差达到最注: 我们可用均方误差e来衡量以aXb近似表示Y的好坏程度, e值越小表示aXb2与Y的近似程度越好.且知最佳的线性近似为a0Xb.而其余均方误差eD(Y)(1XY).从这个侧面也能说明.|XY|越接近1, e越小.反之, |XY|越近于0, e就越大.Y与X的线性相关性越小.8.由于相关系数只能刻画随机变量线性关系的程度，而不能刻画一般的函数相依关系的程度。在概率论中还引进了另外 相关性指标，以补救这个缺点。但是，这些指标都未能在应用中推开。究其原因，除了这些指标在性质上比较复杂外，还有一个重要原因：在统计学应用上，最重要的而为分布是二维正态分布。而对二维正态分布而言，相关系数是X和Y的相关性的完美的刻画，没有上面指出的缺点。

第16篇：随机变量的均值与方差的计算公式的证明（材料）

随机变量的均值与方差的计算公式的证明

姜堰市励才实验学校姜近芳

组合数有很多奇妙的性质,笔者试用这些性质证明了随机变量的均值与方差的两组计算公式。

预备知识: 1.kCnkn1!nCk1 kn!nn1k1!nk!k!nk!

k1k1k1k1k2k2.k2Cn=nkCn1nCn1nk1Cn1=nCn1nn1Cn2

3.N个球中有M个红色的,其余均为白色的,从中取出n个球,不同的取法有: 0n1n12n2lnlnn,M.CMCNMCMCNMCMCNMCMCNMCNlmin

公式证明:

1.X～Bn,p1EXnp.2VXnp1p.

证明:EXx1p1x2p2x3p3xnpn

0010Cnp1pCnp1pn

0nCn1p1pn1222Cnp1pn2n2nnnCnp n112Cn1p1pn1nCn1p 

np1pp

np.n1

VXx1p1x2p2xnpn 222

x1p1x2p2x3p3xnpn

2x1p1x2p2x3p3xnpn

22222p1p2p3pn

n12222Cnp1p

n1n2nnn2Cnp222 n1n1 Cn1p

n3n2n2Cn2 2p1Cnp1p0npCn1p11Cn1p1pn2n20nn1p2Cn1p21Cn1p2p

np1pp

np1p.n1nn1p21ppn2n2p2

2.X～Hn,M,N1EX =nMnMNMNn.2VX.NN2N1证明:EXx1p1x2p2x3p3xnpnlminn,M10n1n12n2lnl0CCCC2CClCCMNMMNMMNMMNM nCN

M0n11n2l1nlCCCCCCM1NMM1NMM1NM nCN



=Mn1CN1 nCNnM.N

222VXx1p1x2p2xnpn

2222x1p1x2p2x3p3xnpn

2x1p1x2p2x3p3xnpn

2p1p2p3pn

120n21n122n22lnl20CC1CC2CClCC MNMMNMMNMMNMnCN

=10n11n2l1nl〔MCM1CNMCM1CNMCM1CNM nCN

MM1CM2CNMCM2CNMCM2CNM〕 0n21n3l2nl2

1nMn1n2nMCNMM1C 1N2NCN2

nMnn1nMMM1 NNN1N2

nMNMNn.N2N1

第17篇：七年级下册《方差》小结与复习学案湘教版

七年级下册《方差》小结与复习学案湘

教版

方差

目的要求：

认识极差、方差的概念

2能正确计算一组数据的极差、方差

3极差、方差对一组数据的意义

重点：

极差、方差对一组数据的意义

准备：

小黑板、幻灯

教学过程：

一、复习（幻灯）

权数与频率的关系

2求

2、

37、

4、

46、7的加权平均数

⑴、已知权数为0

1、0

2、0

1、0

2、03

⑵、已知前四个数的权数为0

2、0

2、0

4、

二、极差

引入（小黑板）

01

我班A同学的期中测试成绩如下：政：80语：

8、数：

9、外：60、史：90、地：

6、生：9

我班B同学的期中测试成绩如下：政：8语：

7、数：

9、外：

7、史：

8、地：80、生：7

⑴、计算两同学的平均成绩，看看谁的成绩更好？

⑵、你认为哪个同学的成绩看起来一平衡？为什么？

B同学的成绩平衡些虽然他们的最高分都相同，但B同学他的最低分只有7，而A同学的最低分是60分）

2教师引导得到：

一组数据中最大值与最小值之差，叫这组数据的极差极差的大小反映了数据的波动或分散的程度

如上，A同学的成绩的极差是9－60＝3，B同学的成绩的极差是9－7＝20，因而B同学的成绩的波动就小一些，成绩就比较平衡极差越大，波动越大;极差越小，波动越小

3应用

下表是1998年4—9月中每个月份湘江的最高水位和最低水位（单位：）

⑴、计算每个月份水位变化的极差

⑵、计算4—9月份最高水位变化的极差

⑶、计算4—9月份最低水位变化的极差

⑷、从上面的数据及其分析中，你能获得哪些信息？

（水位变化的极差反映了湘江水位涨落的程度;

6月份的极差最大，说明这一年6月份经常下大雨，雨水是最多的水位波动最大

9月份极差最小，说明很少下雨，水位恒定

从这6个月的水位变化情况看，最高水位极差达到1041，最低水位极差也在3说明这一年湘江发洪水，灾害严重…

…）

可让学生自由发言，能够在数据中体现的信息都应给予肯定

4练习

三、方差

引入（小黑板）

有两个合唱队，各由名队员组成，他们的身高为（单位：）

甲队：160、16

2、

19、160、19

乙队：180、160、

10、

10、160

⑴、计算两队的平均身高看看这两队中从身高来说哪队更整齐？

⑵、哪组队员的身高更集中于160？

2反映一组数据的分散程度，数学中可用方差来解决

方差：一组数据中的各数与其平均数的偏差的平方的平均值，称为这组数据的方差

如上题中用方差来解决看哪队更整齐的问题

甲乙两队中，每队队员的平均身高都是160，则甲队队员的身高的方差是：

〔（160－160）2＋（162－160）2＋（19－160）2＋（160－160）2＋（19－160）2〕÷＝12

乙队队员的身高的方差是：

〔（180－160）2＋（160－160）2＋（10－160）2＋（10－160）2＋（160－160）2〕÷＝120显然，乙队队员身高的方差远远大于甲队队员的身高，这说明甲队队员的身高偏差较小，看起来更整齐;而乙队队员的身高偏差较大，则乙队队员高的高、矮的矮，不齐整

3方差的意义

方差反映的是一组数据与其平均数的偏离程度，方差越小，数据越集中；方差越大，数据越分散简而言之：方差反映了数据组与其平均数的偏离程度

4应用（幻灯）

⑴我班某同学期中测试成绩如下：政：8语：

7、数：

9、外：

7、史：

8、地：60、生：9，计算这组数据的极差、方差

⑵有一批棉花，其各种长度的纤维所占比例如表所示：

试求这批棉花纤维的平均长度与方差，并对这批的质量发表自己的看法

四、作业

五、小结

（说明：由于学生使用的不同的计算器，所以请同学们自己参考阅读说明书，练习用计算器求方差）

纤维长度

所占比例

2％

40％

3％

第18篇：两数N次方差的一般计算公式

两数N次方差的一般计算公式

在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奥数学习中，通过面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不相邻两个数的N次方，发现同样有效。就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。 推导过程：

一、由二次方看

首先，我们知道两个数的二次方的计算方法

已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。

解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即A^2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：

5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9

几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加

4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7

几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加

所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：

(A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1)

对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到

(A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2

=[(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2

几何上理解为： 长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A-1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块面积的和。

同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：

P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q)

二、再看三次方的情况

我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：

已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。

设A的相邻数为A+1和A-1，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图：

(A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3-2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1)

A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1)

几何上的理解是：

长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（A-1）与高方向上的A厚度为1的体积、长方向上的（A-1）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。

对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为（P-Q）的形成体积的体积差，一般公式为：

P^3-Q^3=[P^(3-1)*Q^(3-3)+P^(3-2)*Q^(3-2)+P^(3-3)*Q^(3-1)]*(P-Q)

三、推广到四次方

同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式：

(A+1)^4-A^4=(A+1)^(4-1)*A^(4-4)+(A+1)^(4-2)*A^(4-3)+(A+1)^(4-3)*A^(4-2)+(A+1)^(4-4)*A^(4-1)

不相邻两数的四次方之差的一般公式：

P^4-Q^4=[P^(4-1)*Q^(4-4)+P^(4-2)*Q^(4-3)+P^(4-3)*Q^(4-2)+P^(4-4)*Q^(4-1)]*(P-Q)

四、结论：两个数的n次方之差计算方法，

综上，我们可以由简单而复杂，推而广之，得出

相邻两个数的n次方的差的一般公式：

P^nQ^n=[P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+ P^(n-4)*Q^3+……+ P^(n-n)*Q^(n-1)]*(P-Q)

五、验证：

⑴ 相邻两数的N次方的差的计算验证

3^4-2^4=81-16=65

3^4-2^4=3^3*2^0 + 3^2*2^1 + 3^1*2^2 + 3^0*2^3=65 6^6-5^6=46656-15625=31031

6^6-5^6=6^5*5^0 + 6^4*5^1 + 6^3*5^2 + 6^2*5^3 + 6^1*5^4 + 6^0*5^5=31031

⑵不相邻两数的N次方的计算验证

10^5-5^5=10000-3125=96875

10^5-5^5=[10*10*10*10*1+10*10*10*5+10*10*5*5+10*5*5*5+5*5*5*5]*5

=[10000+5000+2500+1250+625]*5=19375*5=96875

11^6-9^6=1771561-531441=1240120

11^6-9^6=[11^5*1+11^4*9+11^3*9^2+11^2*9^3+11^1*9^4+1*9^5]*(11-9)

=[161051+131769+107811+88209+72171+59049]*2

=620060*2=1240120

方差公式的应用

刘君

王永会

方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值。然而由于统计初步列入中学数学时间不长，因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少，故给学生一种错觉，好像学了方差公式仅仅是为了统计计算而已，别无它用。为延伸教材内容，紧跟素质教育和新课程改革的步伐，笔者就八个方面的应用介绍如下：

若x为一组数据x1，x2，x3xn的平均数，S2为这组数据的方差，则有

S21n[(x1x)(x2x)(xnx)]2221n[x1x2xn)nx]

222

2由方差定义公式，显然有S20，当且仅当x1x2xn时S20

1.求值

例1.已知实数x、y、z满足 x3y6

2x3y2xy2z012

试求x2yz的值。

解：－得：xyz2

312得：x2(3y)2366xy2223

4

将代入得：x(3y)186z，把x，3y视为一组数据，由方差公式，得

S212[x(3y)2(22x3y2)]212(186z2126)3z

2

2因为S20，所以3z20

所以z＝0，所以S20

所以x3y代入得x3，y

1 所以x2yz329

2.解方程

例2.解方程4(x

解：设xa，22y1z2)xyz9 z2c，则

y1b，2

xa，yb1，zc2

原方程可化为

4(abc)a2b2c212

所以a2b2c24(abc)12

由方差公式，得a、b、c的方差为：

S21313[(a2bc)2213(abc)] 1

32 [4(abc)1219(abc)]

2 (abc6)

2

因为S20

所以(abc6)20

所以abc6

所以S20，从而abc2

故x4，y5，z6，经检验x4，y5，z6是原方程的解。

3.解方程组

例3.解关于实数x、y、z的方程组

12x3yz1

32 224x9yz2x15y3z822

解：由得2x(3y3)16z

＋，得(2x)(3y3)z4z10

4 由方差公式，得2x，3y3的方差为：

S222212[(2x)(3y3)2212(2x3y3)]

212[(z4z104)34(z4)2212(16z)]

2

因为S20，所以

所以(z4)0 234(z4)20

所以z4，所以S20

所以2x3y3

把z4，2x3y3代入得y＝1，从而x＝3，所以x3，y1，z4

4.证明不等式

例4.已知xyza，求证：x2y2z213a

2证明：设x2y2z2w，由方差公式，得x、y、z的方差为

S213[(x2y2z)132213132(xyz)]213(w13a)

2因为S20，所以132(wa)0

1

32所以w a，即xyz2a

2

5.证明等式

例5.已知实数a、b、c满足a6b，c2ab9，求证：a＝b

证明：由已知得ab6

a2b2362ab362(c29)182c

2 由方差公式，得实数a、b的方差为

S212[(a2b)212(ab)]212[(182c)2126]c

2

2因为S20，所以c20

所以c＝0，所以S20，则a＝b

6.求字母的取值范围

例6.设实数a、b、c满足

2abc8a70

22bcbc6a6012

则a的取值范围是_________。

解：＋得

bca14a13 22

2－得(bc)2(a1)2

由方差公式得b、c的方差为

S212[(bc)2212(bc)]

212[(a14a13)34(a10a9)2212(a1)]

2

因为S20

所以34(a210a9)0

所以a210a90

解得1a9

7.求最值

例7.实数x、y满足4x25xy4y25，设Sx2y2，则

解：设x2y2t，由方差公式得x、y的方程

S21Smax_______。

12[(xy)2(222xy2)]

2212[(xy)2222x2xyy2]

(xy)2xy4t2xy42



2 ①

因为4x5xy4y

5 所以5xy4(xy)5

所以xy45(xy)122225t1，代入①，得

t8

S254t23t10200

所以3t100

所以t1103，即Smax310103

所以 Smax

8.判断三角形形状

例8.设ABC的三边a、b、c满足：bc8，bca212a52，试问ABC是什么三角形（按边分类）？并证明你的结论。

解：ABC为等腰三角形，证明如下：

由已知得b2c2642bc2a224a40

由方差公式得b、c的方差为

S212[(bc)2212(bc)]

2 12[(2a24a40)22128]2

(a6)0

因为S20，所以(a6)20，所以a6，所以S20

所以bc4

故ABC是以a为底，以b、c为腰的等腰三角形。

练习：

1.已知ABC的三边a、b、c满足（1）abc；（2）2bac；（3）b是正整数；（4）a2b2c284，求b的值。

2.已知xyz1，求证：xyz22213

3.实数a、b、c、d满足abcd10，a2b2c2d228，求a值范围。

xyz322

24.解方程组xyz3

555xyz

35.设x1，x2，x3x19都是正整数，且满足x1x2x1995，则x1x2x19的最大值为___________

6.设m、n、p为正实数，且mnp，求

222222pmn的最小值。

7.求y1sinx1sinx的最大值。

8.已知a、b、c为ABC的三边，若abc角形的形状。

322，a2b2c232，试判断此三

参考答案：

1.b5

2.略

3.1a4 x1

4.y1

z1

5.5947

6.

7.2

8.ABC为等边三角形

22

第19篇：不重复抽样条件下样本方差的修正系数

简单随机抽样下获得的估计值是它们相应的总体值的无偏估计量。简单的情况下，如果我们假定无限的（或至少非常大的）目标总体，我们可以对简单随机抽样下在整个目标总体中测量的特征的平均值和方差作如下估计。

这里

n=样本容量

yi=对样本中第i个元素的某个特征的测量值

y=估计的平均值（总体平均值的无偏估计量）

S2y=估计的样本方差（总体方差的无偏估计量）

一个估计的总体参数（例如，一个平均值或一个比例）的可靠性指它的再现性——一个总体参数的估计值在给定容量的不同样本中如何重复出现。假定没有测量误差，总体参数的估计值的可靠性能以标准误来判断。例如，样本平均值的估计的标准误以下式给出

与样本平均值相关的估计标准误越小，样本估计值的可靠性越大。

一个估计值的标准误能用于形成对于总体估计值的置信限制。为了构造置信区间，我们对于样本估计值的抽样分布必须做出一定的假设。对于足够大的样本容量（例如说n>30），样本估计值（例如平均值或比例）的抽样分布接近于正态分布，正态理论可用于为所估计的未知总体参数构建置信区间。例如，对于真实的总体平均值的一个适宜的百分之100（1-a/2）的置信区间是

出现在（6-4）中的所有符号，除了t，前面都已经定义，符号t指学生氏t-分布。我们用t-分布代替标准正态z-分布是因为在大多数情况下总体方差是未知的。t的值在学生氏t-分布表中n-1自由度中读取。如果样本容量大于30，那么t的值与在相同显著水平上从标准正态表中读取的z值相同。

前面这些公式严格应用于目标总体无限大的情况。当目标样本相对于目标总体较大时，这些公式将高估总体参数（平均值或比例）的方差（标准差）。无论何时目标样本占目标总体的10%至20%或更多，就应使用修正系数。有限总体修正系数（fpc）以（）给出。fpc修正的方差公式是

本质上，fpc依赖于n与N的关系，如果总体容量N非常大而样本容量n较小，那么fpc将接近1；另一方面，如果样本容量n接近总体容量N，那么fpc将小于1且将减小估计的总体方差的数值。在大多数消费者商品研究中，无限目标总体的假设是合理的——目标总体通常包括数以百万的个人或家庭。

在以一定精确水平估计总体参数时经常需要决定样本容量。决定样本容量的程序是

①规定可接受的容许水平（h）。这是估计值与它的未知的实际总体值的差别。规定可接受容许水平的一种方法是取所需置信区间的一半。

②决定可靠性系数（Z1-Z2），这个系数取决于所需确定性水平（1-a/2）。

③取得在目标总体中测量的特征的标准差（ ）的估计值。这个估计值可以基于以前的研究，小规模的试验性研究，或主观猜测，或者取特征值估计的分布范围的六分之一（如果正态）。

④应用下列公式求得所需样本容量n*

为了保证在预期平均值固定百分比范围内的估计值，应按照下列程序：

①规定可接受的相对容许水平（N），这个值表示为一个固定百分比（例如5%或10%）。

②决定可靠性系数（Z1-a/2）。

③取得在目标总体中测量的特征的变异系数的估计值。变异系数是对相对离散的测量，以给出，这里是总体平均值的实际标准差，是（实际的）总体平均值。为了决定所需样本容量的目的，获取在目标总体中的特征的预期平均值的估计值（ ）和该特征的估计的标准差（ ），计算估计的变异系数

第20篇：教学设计

思

分类：12年3月 教学反思

2012-04-03 20:31

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《提袋的设计》是“设计.应用”领域的一课。本课重在让学生了解提袋的结构设计与制作方法，并能发挥想象力，设计制作出造型新颖美观的手提袋。 在本课的教学中，本课的重点和难点都在提袋的结构上：四个面的结构、底部的做法。所以我在课上采用的是，观察一个手提袋，看它有几个面，哪两个面是相对的，面积是相等的，底面在哪里，提手是怎样设计的。接着，把一个旧的手提袋拆开，让学生看清它的原形就是一张方形的纸，然后再逐一粘贴复原，知道手提袋是经过怎样的折叠粘贴而成的。然后带领学生研究分析课本中提供的设计提袋的图纸，这样两相联系，学生就比较容易弄清楚提供的结构了。在学生实践环节，我提示学生可以参照课本中的图纸在卡纸上画出来，我又教给学生一种更为简捷的折法，省去了画的过程，提袋的底部也是个难点，从哪里剪开，剪到哪里，怎样粘贴更合适，我通过演示和个别辅导解决了这个难点。主要通过对提袋的解剖、观察，了解提袋的结构，紧着这教师示范提袋的折叠方法，学生动手跟着制作一个普通的方形手提袋；通过欣赏造型新颖、装饰精美的手提袋，激发学生的创作欲望，对于提手方面也引导学生进行观察有两几种形式，然后通过以小组合作的方式对自己手中的方形手提袋进行添加或减少改变其形状，并进行装饰。

选的课题是一节手工课，对应“设计.应用”这个教学策略。手工课属于美术课中比较特殊的一种课型，对于40分钟的时间想要来完成一件完整的手工作品其实并不简单，时间上比较紧张，况且前面还需要时间导入，成品展示等等其他环节。教师语言和提问有效性各个环节整体效率必须非常高，一点也不能马虎。真正让学生进行作品制作的过程其实也就15-20分钟，这么短的时间成人都很难完成一个手提袋的制作，怎么能让学生做到，并且做好，这着实是一个棘手的问题。

后来经过同事的点拨，我就将这一课的重心由“制作”转变为“设计，装饰”，对于手提袋的提手以及袋面进行设计装饰。我提前制作的一些小的手提袋（素面，无提手），在制作环节直接让学生进行装饰设计，让学生在提手和袋面的装饰上下功夫。这时就有时间的问题凸显出来了，20分钟，有的组只能做完袋面，还都没来得及做提手，有的组做了很别致的编织提手，但是袋面完全没有设计。我只能进行有重点的展示评价，并分别给了两个组的奖励。

原本只想到了给学生做好提袋就可以高枕无忧了，但是没想到就是这样在时间上还是很紧张，只能很紧巴很勉强的完成任务。后来教研室的领导在给我评课的过程中给我提出了不少很好的建议，在做之前就给学生设定好时间，让学生在脑子里树立一个时间概念，半成品配件老师是否可以给学生准备更多一些，到时候学生可以直接进行装饰，而不用自己再思考再动手制作配件，这样可以节省更多的时间，以及提袋的颜色，外形等等都可以进行多样的变化，让我觉得受益匪浅。

在学生设计、制作提袋环节，为了孩子们能充分发挥自己的想象力，设计的纸袋有更多的色彩和不同的图案。我提议让他们给自己最爱的人或最要好的朋友设计一个提袋送给他们。结果，这节课学生们的作品不再去模仿书本了，而是从自己最爱的人或最要好的朋友的喜好入手进行着提袋的设计。如设计了一个放书的纸袋送给好朋友，还有XX同学为妈妈设计了

这节课不仅引导他们关注生活，同时也引导了他们关注身边的人，把自己的爱传递给他们。课堂也就充满了融融的情意。

《《方差》教学设计.doc》

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