由于线性化的问题上是如此的不动点的成功，将尝试使用周期点的一个类似的方法。缩写的线性化ｆ沿周期轨道
A t =d Φ(t,x0) ,A t+T =A t,(12.3)
建议或问题进行调查的第一个变分方程
y=A t y,(12.4)
我们已经遇到的（2.52）。请注意选择不同的周期轨道点x0→Φ s,x0 .
我们的目标是要表明稳定的周期轨道 γ x0涉及到第一个变分方程的稳定性。作为第一个有用的观察，我们注意到，主要矩阵相应的解决方案Ⅱ t,t0 可以通过线性化沿周期轨道流动。
Lemma 12.1主要的第一变分方程的矩阵解为。
Ⅱx t,t0 =0∂Φt−t0∂x Φ t0,x0.(12.5)
此外,ｆ Φ t,x0是第一个变分方程的解。
ｆ Φ t,x0=Ⅱx t,t0 ｆ Φ t0,x0.(12.6) 0
证明：缩写Ｊ t,x =∂Φt
∂x x , 然后Ｊ 0,x =Ⅱ并通过交换t和x衍生工具可以得出
Ｊ t,x =d Φ t,x Ｊ t,x .因此Ｊ t−t0,Φ t0,x0是主要的第一变分方程的矩阵解法。它仍然表明（12.6）满足第一个变分方程是一个简单的计算。
至今A t 是周期的，第3.5所有事项适用。特别是主要矩阵解决方案是从。Φx0 t,t0 =Px0expt−t0 Qx0 t0(12.7)
与单值矩阵Mx0 t0 =exp TQx0 t0=
关。请注意一个是一特征值，因为。
Mx0 t0 ｆ Φ t0,x0=ｆ Φ t0,x0.（12.8） ∂ΦT−t0∂x Φ t0,x0具有特征值在所选择的轨道点无
12.2 The Poincare map
记得Poincare映射
P∑ y =Φ τ y ,y(12.9)
6.3节介绍。它是为调查周期轨道的主要手段之一。稳定的周期轨道γ x0 直接关系到稳定性x0作为一个固定点P∑.
Lemma 12.2 周期轨道γ x0 是（渐近）稳定的轨道ｆ当且仅当x0是（渐近）稳定不动点p∑.
⊆U⋂∑的x0证明：假设x0是一个稳定的固定点p∑.设u是一个街区γ x0 .选择一个社区U
⊆U.如果x0是一个稳定的固定点p∑还有另外一个邻居V ⊆∑的x0使得使得Φ0,T ,U
⊆U 关于所有的n.现在假设V是一个街区γ x0 使得V⊆Φ0,T ,V.那么yϵV有一个Pn V
n .因此yn=P∑ 因此ϕ t,V ⊆U对所有的t≥0.y0 ∈U最小的t0≥0使得y0=Φ t0,y ∈V
此外，如果yn→x0然后Φ t,y →γ x0 由连续性的Φ与压实度 0,T .因此γ x0 如果是渐近稳定x0是.相反的是平凡的.□
作为这一结果的直接后果和定理10.1我们获得.
Corollary12.3.假设ｆ∈Ck有一个周期轨道γ x0 .如果所有的本征值的Poincare映射的单位圆内的谎言则是渐近稳定的周期轨道.接下来我们说明了此方法是与第一变分方程.
Theorem 12.4.对衍生工具的Poincare映射的特征值dp∑在x0普尔1单值配合的单值矩阵
的特征值Mx0 t0 .
特别的Poincare映射的特征值是独立的点x0与横向的弧度∑.证明：经过线性变换，它是没有任何限制承担ｆ x0 = 0,…,0,1 .写x= y,z ∈ℝn−1×ℝ.因此∑是局部函数的图形s:ℝn−1→ℝ我们可以采取y本地坐标的Poincare映射，因为∂xΦ τ x ,x︱x=x =ｆ x0 dτx0+
∂
∂ΦT∂x
x0(12.10)
我们推断dp∑ t0 j,k因为1≤j,k≤n−1由引理12.1.此外,Mx0 0 ｆ x0 =ｆ x0 因此
dp x 0
Mx0 0 = ∑0(12.11)
m1
这是显而易见的.□
因此我们获得
Corollary 12.5对Poincare映射在衍生的决定因素x0并且是平等的单值矩阵
det dp∑ x0=det Mx0 x0.(12.2) 特别是自单值矩阵的行列式不会消失p∑ y是一个局部微分同胚的x0.由刘维尔公式（3.71）我们有
det Mx0 t0=exp0tr A tdt =exp0div ｆΦ t,x0dt.(12.13) 在二维空间只有一个特征值是相等的行列式，因此我们获得。
T
T
Lemma 12.6.假设ｆ是一个平面向量场。然后一个周期点x0如果是渐近稳定
0div ｆ Φ t,x0dt
积分和不稳定，如果是积极的。
作为另一个的Poincare映射使用的应用程序将显示双曲周期轨道的小扰动下坚持。 Lemma 12.7.让ｆ x,λ 是Ck并且假设ｆ x,0具有双曲周期轨道 γ x0 .然后,在0足够小的邻域有Ck,λ↦x0 λ 使得x0 0 =x0和γ x0 λ是一个周期轨道ｆ x,λ .
证明：修复一个横向的弧线∑因为ｆ x,0 在 x0处.这也是横向的弧线ｆ x,λ 和λ足够小。因此有相应的Poincare\'地图p∑ x,ε （那个是Ck）.p∑ x0,0 =x0因此和没有特征值p∑ x0,0 位于单位圆，结果从隐函数定理如下。
T
12.3.稳定和不稳定流形
显示，一个周期点的稳定性 x0可以读取从第一变分方程关闭，我们将首先运用简化一些转变的问题。
使用 y t =x t −Φ t,x0 我们可以减少它的问题 y= f t,y，f t,y =f y+Φ t,x0−f Φ t,x0,(12.15) 在哪里 f t,0 =0和 f t+T,x = f t,x .这个方程可以改写为y=A t y+gt,y(12.16)
由于g T型周期, gt,0 =0,并且 ∂g/∂yt,0 =0.我们将看到双曲周期轨道十分相似，双曲不动点。（你被邀请表明，与我们先前的定义中的一个特殊案件的固定点相吻合T=0）此外，通过配套3.15改造z t =P t −1y t 将改造系统。
z=Qz+g t,z(12.17) 因此，我们在7.2节进行，以显示稳定和不稳定流形的存在x0定义为
M± x0 = x∈M︱sup e±rt｜Φ t,x −Φ t,x0 ｜0(12.18) 这使不同点Φ t0,x0 在我们设置的周期轨道
±
x0 = M± Φ t0,x0(12.19)Mt0请注意，是对应的线性线性子空间
E± t0 = x0 t1,0E± 0(12.20) 对应的子空间的稳定和不稳定Mx0 t0 (比较（3.92）)
Theorem 12.8(稳定流形的周期轨道)。假设f∈Ck具有双曲周期轨道γ x0 与相应的单值矩
阵M t0 .然后，有一个街区U γ x0功能h±∈Ck0,T ×E±,E± 使得
±
x0 ∩U γ x0= Φ t0,x0 +a+h± t0,a ｜a∈E± t0 ∩U .(12.21) Mt0
两者h± t0,.在和他们的雅可比矩阵消失x0, 也就是说, Mt±0 x0 相切各自的线性对应
E± t0 , Φ t0,x0 .此外，
Φ t,x −Φ x0,t+t0≤Ce∓tγ,±t≥0,x∈M±t0 x0(12.22) 任何γ
