新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点
(1) 求证:EFGH是平行四边形
(2) 若
BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
C D H证明:在ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH同理,FG//BD,FG
(2) 90°30 °
考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形。
22、如图,已知空间四边形ABCD中,BCAC,ADBD,E是AB的中点。 求证:(1)AB平面CDE;
(2)平面CDE平面ABC。E BCAC证明:(1)CEAB AEBE
同理,ADBDDEAB AEBEB C 又∵CEDEE∴AB平面CDE
(2)由(1)有AB平面CDE
又∵AB平面ABC,∴平面CDE平面ABC
考点:线面垂直,面面垂直的判定
D
3、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点, 求证: AC1//平面BDE。
证明:连接AC交BD于O,连接EO, ∵E为AA1的中点,O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内,A1C在平面BDE外
∴AC1//平面BDE。考点:线面平行的判定
4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证:AD面SBC. 证明:∵ACB90°BCAC
又SA面ABCSABC
BC面SACBCAD
A
D
1B
C
D
C
S
A
C
B
又SCAD,SCBCCAD面SBC考点:线面垂直的判定
5、已知正方体ABCDA1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.DAD
A
BBC
1面AB1D1.求证:(1) C1O∥面AB1D1;(2)AC1
证明:(1)连结A1C1,设
AC11B1D1O1
,连结AO1
∵ ABCDA1B1C1D1是正方体A1ACC1是平行四边形
∴A1C1∥AC且 AC11AC又O1,O分别是AC11,AC的中点,∴O1C1∥AO且O1C1AO
C
AOC1O1是平行四边形
C1O∥AO1,AO1
面AB1D1,C1O面AB1D1∴C1O∥面AB1D1
(2)CC1面A1B1C1D1CC !1B1D又
∵AC11B1D1
同理可证
ACAD11
,B1D1面A1C1C即A1CB 1D1
,又
D1B1AD1D1
面AB1D1AC1
考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定
6、正方体ABCDA\'B\'C\'D\'中,求证:(1)AC平面B\'D\'DB;(2)BD\'平面ACB\'.
考点:线面垂直的判定
7、正方体ABCD—A1B1C1D1中.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C;(2)若E、F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD. 证明:(1)由B1B∥DD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD,
又BD 平面B1D1C,B1D1平面B1D1C, ∴BD∥平面B1D1C. 同理A1D∥平面B1D1C.
而A1D∩BD=D,∴平面A1BD∥平面B1CD.
A
(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.取BB1中点G,∴AE∥B1G.
从而得B1E∥AG,同理GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面EB1D1.∴平面EB1D1∥平面FBD.
考点:线面平行的判定(利用平行四边形)
8、如图P是ABC所在平面外一点,PAPB,CB平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的点,
AN3NB
P
(1)求证:MNAB;(2)当APB90,AB2BC4时,求MN的长。 证明:(1)取PA的中点Q,连结MQ,NQ,∵M是PB的中点, M∴MQ//BC,∵ CB平面PAB ,∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影 ,取 AB的中点D,连结 PD,∵PAPB,∴CAPDAB,又AN3NB,∴BNND
N ∴QN//PD,∴QNAB,由三垂线定理得MNAB B
1
(2)∵APB90,PAPB,∴PDAB2,∴QN1,∵MQ平面PAB.∴MQNQ,且
MQBC
1,∴MN
2考点:三垂线定理
10、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证:平面D1EF∥平面BDG.证明:∵E、F分别是AB、AD的中点,EF∥BD 又EF平面BDG,BD平面BDGEF∥平面BDG ∵D
1G
EB四边形D1GBE为平行四边形,D1E∥GB
又D1E平面BDG,GB平面BDGD1E∥平面BDG
EFD1EE
,平面D1EF∥平面BDG
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)
11、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1的中点.(1)求证:AC1//平面BDE; (2)求证:平面A1AC平面BDE.证明:(1)设ACBDO,
∵E、O分别是AA
1、AC的中点,A1C∥EO
平面BDE,EO平面BDE,A1C∥平面BDE 又AC
1(2)∵AA1平面ABCD,BD平面ABCD,AA1BD 又BDAC,
ACAA1A
,BD平面A1AC,BD平面BDE,平面BDE平面A1AC
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定
12、已知ABCD是矩形,PA平面ABCD,AB2,PAAD4,E为BC的中点.
(1)求证:DE平面PAE;(2)求直线DP与平面PAE所成的角. 证明:在ADE中,ADAEDE,AEDE ∵PA平面ABCD,DE平面ABCD,PADE 又PAAEA,DE平面PAE (2)DPE为DP与平面PAE所成的角
在Rt
PAD,PDRt
DCE中,DE在RtDEP中,PD2DE,DPE30 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形
13、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点,求证:BG平面PAD; (2)求证:ADPB;
(3)求二面角ABCP的大小. 证明:(1)ABD为等边三角形且G为AD的中点,BGAD 又平面PAD平面ABCD,BG平面PAD
(2)PAD是等边三角形且G为AD的中点,ADPG 且ADBG,PGBGG,AD平面PBG,
22
2PB平面PBG,ADPB
(3)由ADPB,AD∥BC,BCPB 又BGAD,AD∥BC,BGBC PBG为二面角ABCP的平面角
在RtPBG中,PGBG,PBG4
5考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)
平面MBD.
14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M为CC1 的中点,AC交BD于点O,求证:AO
1证明:连结MO,A1M,∵DB⊥A1A,DB⊥AC,
A1AACA
,
平面A1ACC1 ∴DB⊥A1O.∴DB⊥平面A1ACC1,而AO1
设正方体棱长为a,则AO1
32
3a,MO2a2. 2
4.
在Rt△ACA1M211M中,
9222
2OO
M∵AO,∴AMOA1Ma.11
∵OM∩DB=O,∴ A1O⊥平面MBD.
考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 1
5、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,
作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连结CF,DF.∵ACBC,∴CFAB.
∵ADBD,∴DFAB.
又CFDFF,∴AB平面CDF.∵CD平面CDF,∴CDAB.又CDBE,BEABB,∴CD平面ABE,CDAH.
∵AHCD,AHBE,CDBEE, ∴ AH平面BCD. 考点:线面垂直的判定
16、证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D
A
C
证明:连结AC
⊥AC∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影
BDA1C
A1C平面BC1D
同理可证A1CBC1
考点:线面垂直的判定,三垂线定理
17、如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC⊥平面BSC.
证明∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,
∴∠AOS为二面角的平面角,设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=2a,SO=2a,
11
AO2=AC2-OC2=a2-2a2=2a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面ABC⊥平面BSC.
考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)