均值不等式的应用

发布时间：2020-03-02 18:36:23 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

均值不等式的应用

教学目标：

1.掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理

2.运用基本不等式和极值定理熟练地处理一些极值与最值问题教学重点：应用教学难点：应用

教学方法：讲练结合教

具：多媒体教学过程

一、复习引入：

1.算术平均数与几何平均数定义，平均不等式 2.算术平均数与几何平均数之间的关系---- 并推广：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 3.极值定理：积定和最小；和定积最大

注：①极值定理成立的条件：一正二定三相等 ②应用时应该注意的问题： 4.练习：

3①若x0,求y12x的最大值.

xx22x2②4x1,求的最值.2x2y221,求x1y2的最大值.③xR,且x21④ yx(23x) ⑤y14x

54x

二、新授：

1.基本应用：

掌握用重要不等式求最值的方法，重视运用过程中的三个条件：正数、相等、常数

4例1.求函数yx的值域.x(,4]或[4,)

例2.已知x2y1,x、yR，求x2y的最大值.11xx4y31x2y32)(2)分析：x2yxx4y(

443432721当x=4y即x,y时取等号.36例3.设a,b,x,yR，且有a2+b2=3,x2+y2=6,求ax+by的最大值.分析：运用柯西不等式 2．变形运用：

对于某些复杂的函数式，需适当变形后，再运用重要不等式求最值.

23例4.求ysinxcos2x(x(0,))函数的最大值.

29ab例5.已知a,b,x,yR且1，求xy的最小值.

xy分析：此题若能灵活变形，运用重要不等式求最值，则能起到事半功倍的效果.解法一：用判别式法----转换为一个未知数利用判别式解法二：换元法----令xacsc2,ybsec2 解法三：转换为一个字母利用基本不等式求解

ab解法四：利用xy=(xy)()

xy11变形：已知a,b,x,yR，且x2y1,求u的最小值.

xy3.综合运用：

例6.已知直角三角形的内切圆半径为1，求此三角形面积的最小值.解：略.例7.将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

解：设剪去的小正方形的边长为x

a则其容积为Vx(a2x)2,(0x)

2114x(a2x)(a2x)32a3V4x(a2x)(a2x)[]

44327aa2a3当且仅当4xa2x即x时取“=”即剪去的小边长为时，容积为

6627

三、练习：

663x2的最小值，y23x的最小值.xx2.已知a,b满足abab3,求ab的范围.1.x0时求y3.已知x,y满足xyxy1，求xy的最小值.4.已知a2b210，求a+b的范围.5.已知x0,y0,z0，求(1x2)(1y2)(1z2)8xyz的解.

四、小结：

五、作业：

1.若0x1, 求yx4(1x2)的最大值

2．制作一个容积为16m3的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）(R2m,h4m)

六、板书设计：

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