均值不等式八法

运用均值不等式的八类拼凑方法

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。

一、拼凑定和

通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１ 已知0x1，求函数yx3x2x1的最大值。

解：yx2x1x1x11x2x11x

2x1x11x32x1x141x4。 22327

当且仅当3x11321x，即x时，上式取“=”。故ymax。 2327

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2

求函数yx0x1的最大值。

解：

y

 x2x221x1x2x2

21x因， 22327

x2

1x2，即x当且仅当时，上式取“=

”。故ymax。 293

3评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 例3 已知0x2，求函数y6x4x2的最大值。

解：y36x224x22182x24x24x2

32x24x24x21883

18。 327

22

当且仅当2x4

x，即x



=”。 故ymax

1883

，又y0,ymax。

27

二、拼凑定积

通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为

出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件

例4 设x1，求函数y

x5x2的最小值。

x

1解：y

x14x1

1x145x1x1

59。 当且仅当x1时，上式取“=”。故ymin9。

评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑

定积”，往往是十分方便的。

例5 已知x1，求函数y

24x1

x3

的最大值。

解：x1,x10，y

24x1

x1

4x1

4

24

x1

4x1



24

3。

224

当且仅当x1时，上式取“=”。故ymax3。

评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设

法将分母“拼凑定积”。

例6 已知0x，求函数y

2cosx

的最小值。

sinxxx

解：因为0x，所以0，令tant，则t0。

22

211cosx1t213t所以yt

sinxsinx2t2t2当且仅当

13t，即tx时，上式取“

=”。故ymin 2t

2

3评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式

的环境。

三、拼凑常数降幂

例7 若a3b32,a,bR，求证：ab2。

分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥

梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是ab1，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。

证明：a313133a,b313133b。

， a3b3463ab,ab2.当且仅当ab1时，上述各式取“=”故原不等式得证。

评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。

例8 若x3y32,x,yR，求x2y25xy的最大值。

解：31xx1x3x3,31yy1y3y3,31xy1x3y3,

x2y25xy

1x3x31y3y351x3y3



77x3y3

7。

当且仅当ab1时，上述各式取“=”，故x2y25xy的最大值为7。

例9 已知a,b,c0,abc1，求证：a3b3c3abbcca。

证明：1a3b331ab,1b3c331bc,1c3a331ca，

32a3b3c33abbc

ca，又abbcca3， 32a3b3c32abbcca3,a3b3c3abbcca。

当且仅当abc1时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

四、拼凑常数升幂

例10 若a,b,cR，且abc

1。

分析：已知与要求证的不等式都是关于a,b,c的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是

1abc

3证明：2161616



a5,2

b5,2c5，

3332。

31

abc32.

当且仅当abc

时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

3例11 若ab2,a,b,R，求证：a3b32。

证明：311a1313a3,311b1313b3,3ab4a3b3。

又ab2,a3b32。当且仅当ab1时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

五、约分配凑

通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。

28

例12 已知x,y,0,1，求xy的最小值。

xyy1

解：xyx

284y6x

4x32xyxy

326 4。

当且仅当

28

1，故xymin64。 时，即x4.y16，上式取“=”

xy

241的最小值。 x1x

例13 已知0x1，求函数y

解：因为0x1，所以1x0。

所以y

41x411x4

x1x59。 x1xx1xx1x

41x2x

时，即x，上式取“=”，故ymin9。

3x1x



当且仅当

a2b2c21

abc。 例14 若a,b,cR，求证

bccaab2

分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于a,b,c的轮换对称式，当abc时，等式成立。

a2a

， 此时

bc2

a1bca2

设mbc，解得m，所以应拼凑辅助式为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉

244bc

目。

证

明

：

a2bcb2cac2aba,b,cbc4ca4ab4。

a2b2c21

，故原不等式得证。 abc。当且仅当abc时，上述各式取“=”

bccaab2

六、引入参数拼凑

某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。

149

例15 已知x,y,zR，且xyz1，求的最小值。

xyz

解：设0，故有xyz10。

914914914

xyz1xxx xyzxyzxy

z。当且仅当

式取“=”，

即x

149

x,y,z同时成立时上述不等xyz

y

z

，代入xyz1，解得

36，此时36，故

x4y9z

的最小值为36。

七、引入对偶式拼凑

根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。

例16 设a1,a2,,an为互不相等的正整数，求证

证明：记bn

则

an111a1a2a

31。 122232n2123n

ana1a2a31111

，构造对偶式， dn122232n2a1a2a3an

an1a11a21a311111

bndn22222，

n1231a12a23a3nan



当且仅当aiiiN,in时，等号成立。又因为a1,a2,,an为互不相等的正整数，



所以dn

11111111

，因此bn。 123n123n

评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。

八、确立主元拼凑

在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，

减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。

例17 在ABC中，证明cosAcosBcosC

1。 8

分析：cosAcosBcosC为轮换对称式，即A,B,C的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元

看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。

证明：当cosA0时，原不等式显然成立。

当cosA0时，cosAcosBcosC

cosAcosBCcosBC

21cosAcosBCcosA 2

11cosA1cosA1cosA1cosA。 2228

cos(BC)1

当且仅当，即ABC为正三角形时，原不等式等号成立。

cosA1cosA

综上所述，原不等式成立。

评注：变形后选择A为主元，先把A看作常量，B、C看作变量，把B、C这两个变量集中到cos(BC)，

然后利用cos(BC)的最大值为1将其整体消元，最后再回到A这个主元，变中求定。

综上可见，许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，

恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解。这种运用等号成立条件的拼凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力。

(均值不等式)

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3.2均值不等式

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