一、选择题
1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC一定是()
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得
a2＋c2－b2ac，整理得a2＝b2，∴a＝b， 2ac2R2R
∴△ABC一定是等腰三角形．
方法二：∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴由已知得sinAcosB－cosAsinB＝0，
即sin(A－B)＝0，又A－B∈(－π，π)，
∴A－B＝0，即A＝B.
∴△ABC为等腰三角形．
答案：B
2．满足A＝45°，c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为()
A．4B．2C．1D．不确定
accsinA解析：由正弦定理，得sinC＝sinAsinCa22232＝
∵c＞a，∴C＞A＝45°，∴C＝60°或120°，
∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.
答案：A
abc3．在△ABC中，若＝ABC是() cosAcosBcosC
A．等腰三角形B．等边三角形
C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确
解析：由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC，
又0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，故A＝B＝C，
所以△ABC为等边三角形，故答案为B.
答案：B
sinB4．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为() sinC
8553A.B.C.D.5835
解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，
sinBAC3∴AC＝3.由正弦定理得.sinCAB5
答案：D
15．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且面积S△ABC＝(b2＋c2－a2)，则A等于() 4
A．45°B．30°C．120°D．15°
11解析：由S△ABC＝(b2＋c2－a2)＝42
b2＋c2－a2得sinA＝＝cosA，∴A＝45°.2bc
答案：A
6．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是()
A．5B．6C．7D．8
11解析：依题意及面积公式S＝，得3，得bc＝40.又周长为20，故a22
＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.故答案为C.
答案：C
二、填空题
7．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C＝__________.
a2＋b2－c2ab1解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴cosC＝＝2ab2ab2
又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.
答案：60°
π38．在△ABC中，BC＝2，B＝ABC的面积为，则tanC为__________． 32
13解析：由S△ABC＝BC·BAsinB＝得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－22
2AB×BCcosB，
∴AC＝3，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，
AB3∴tanC＝.AC3
答案：33
19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝＋b2－c2)，4
则C＝__________.
111解析：由S＝(a2＋b2－c2)得absinC＝·2abcosC.424
π∴tanC＝1.∴C＝.4
π答案： 4
三、解答题
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B；
(2)若a3b，判断△ABC的形状．
解析：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，
所以在△ABC中，由余弦定理可得，
a2＋c2－b2c2＋bcb＋ca2asinAcosB＝＝＝ 2ac2ac2a2ab2b2sinB
所以sinA＝sin2B，故A＝2B.
a(2)因为a＝3b，所以＝3， b由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，
a2＋c2－b23b2＋4b2－b23cosB＝＝2ac24所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.
所以△ABC为直角三角形．
11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝37.
(1)求cosC； →→5(2)若CB·CA＝a＋b＝9，求c.2
sinC解析：(1)∵tanC＝7，∴＝37， cosC
1又∵sin2C＋cos2C＝1解得cosC＝.8
1∵tanC＞0，∴C是锐角．∴cosC.8
5→→5(2)∵CB·CA＝abcosC＝，∴ab＝20.22
又∵a＋b＝9，∴a2＋2ab＋b2＝81.∴a2＋b2＝41.
∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.∴c＝6.
C12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.2
(1)求sinC的值；
(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．
C解析：(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC， 2CCC2cos1＝2sin2∴sin222
CCC由sin，得2cos1＝2sin 222
CC1∴sincos.222
13两边平方，得1－sinC＝，∴sinC＝44
CC1πCππ3(2)由sincos0＜＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－222422244
由a2＋b2＝4(a＋b)－8得(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2bccosC＝8＋27，
所以c7＋1.
