高中数学不完全归纳法证明题[优秀]

发布时间：2020-03-02 08:03:49 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

數學歸納法的迷思

數學歸納法可說是高中數學裡最令同學納悶的一部份了，數學歸納法學的不錯的同學，大概都能謹遵老師交待要寫出以下2步驟:

1、步驟1:證明n=1時，敘述成立。(不一定從1開始)

2、步驟2:假設n=k時，敘述成立；證明n=k+1時，敘述也成立

由數學歸納法得證，n為任意自然數時都成立。

完整寫出以上2步驟，並且遇到數學歸納法的證明題時，操作以上步驟，算是達到了學習數學歸納法的最基本要求。只是能操作數學歸納法的基本步驟，不一定代表了解數學歸納法的原理，因此容易造成誤用，而不知道錯在何處，或者是雖然做出了正確的証明，但終究對於這樣的証明方法存疑，先說存疑之處:「只知道n=k和n=k+1成立，仍不知道後面幾項是否成立」、「用假設來證明很沒說服力，萬一假設不成立呢?」、「怎麼可以假設n=k成立呢?」這是學習數學歸納法常會出現的疑問，所以再複習一下數學歸納法的基本原理，皮亞諾(G.Peano)在西元1889年提出的自然數的序數理論，包含5條公理:

(1)1是一個自然數

(2)每一個自然數a都有一個後繼元素

(3)1沒有生成元素

(4)如果a與b的後繼元素相等，則a=b

(5)若一個由自然數所組成的集合S包含1，並且當S包含某一自然數a時，它一定也含有a的後繼元素，則S就包含有全體自然數。

數學歸納法原理就是皮亞諾的第5條公理，無需證明。數學歸納法實際上是一種演繹方法，由於我們無法證明所有自然數均滿足於某一條件，所以我們用邏輯遞推的方式，先證明有一個起始值合於條件(步驟1)，接下來證明所滿足的條件是可以遞推的，若n=k成立n=k+1成立(步驟2)。就以老師上課常講的以骨牌為例，假設我們有無限多顆骨牌，因為數量是無限多，所以我們無法實際操作，看到所有骨牌倒下，但是我們可以確認的兩件事就是第一顆骨牌會倒，以及若骨牌倒了，後一顆骨牌也必倒，這兩件事確定了，我們不必眼見所有骨牌倒下，也知道所有骨牌都會倒，這就是數學歸納法的原理。

同學在學習數學歸納法常見的錯誤上大致有以下二種:

(一)忽略起始值與遞推過程的互相配合，以證明n22n，nN為例:

1、當n1時，1221，成立

2、設nk時k22k成立；當nk1時

2k1(k1)222k(k22k1)2k2k22k1k22k

1k(k2)10(k1)22k1，由數學歸納法得証。

以上證明犯了很明顯的錯誤，就是k(k2)10的條件必須k3，所以用k=1當起始值就與證明過程沒有配合，仔細再檢視一遍，n2,3,4，均不符合，

n22n，nN，所以本題的起始值應從n=5開始才成立。若題目沒事先設好條件n5，恐怕就會落入這樣的謬誤。

(二)證明n=k+1成立時，與假設n=k成立完全無關

數學歸納法第二步驟假設n=k時成立推至n=k+1時成立是ㄧ個遞推步驟，所以n=k+1成立的証明必須建立於n=k成立的基礎上，不能單獨證明n=k+1成立，但這也是同學證明時常犯的錯誤，例如:證明0.91(這個結論是錯的)

假設n代表小數點後9的個數

1、n=1時0.9