基础证明题
1．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．
2．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．
3．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC． （1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
4．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
5．已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点， 求证：BE=CD．
6．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O． （1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．
7．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AE∥CF．
9．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．
11．如图，在矩形ABCD，AD=AE，DF⊥AE于点F．求证：AB=DF．
12．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF． 求证：∠ABF=∠CBE．
13．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF． 求证：（1）△ADE≌△CDF； （2）∠BEF=∠BFE．
14．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
15．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AD，DC上，且AE=DF． 求证：BE=AF．
16．已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．
17．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形． （1）求证：△ABE≌△DCE；（2）求∠AED的度数．
18．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F． 求证：BE=CF．
19．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE． （1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．
20．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．
22．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=20°，求∠BAD的度数．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=10，AE=8，求BF的长．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
25．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作⊙O的切线且EF⊥AB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，
（1）求证： ∠ABG=2∠C．
（2）若sin∠EGC=，⊙O的半径是3，求AF的长．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上且直线CE是⊙O的切线， AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：，AD平分∠CAE
（2）若BC=3，CD=3，求弦AD的长．
27．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
28．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB． （1）求证：CE=CB；（2）若AC=
229．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D． （1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB=CD，求⊙O半径．
30．如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P． （1）求证：AP=AB；
（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长．
，CE=
，求AE的长．
31．如图，已知AB是⊙O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA=PC，∠C=30°．
（1）求证：CP是⊙O的切线．
（2）若⊙O的直径为8，求阴影部分的面积．
32．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长； （2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积； （3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
33．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
2018年04月04日十二中数学2的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共37小题）
1．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．
【解答】解：∵AE=BF， ∴AE+EF=BF+EF， ∴AF=BE，
在△ADF与△BCE中，
∴△ADF≌△BCE（SAS）
2．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．
【解答】证明：∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴∠A=∠D．
，
3．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC． （1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵BE=FC， ∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SSS）； （2）解：如图所示： 由（1）知△ABC≌△DFE， ∴∠ABC=∠DFE， ∴AB∥DF， ∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
4．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE． （1）求证：AC=CD； ，
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
【解答】解：∵∠BCE=∠ACD=90°， ∴∠3+∠4=∠4+∠5， ∴∠3=∠5，
在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴AC=CD；
（2）∵∠ACD=90°，AC=CD， ∴∠2=∠D=45°， ∵AE=AC， ∴∠4=∠6=67.5°，
∴∠DEC=180°﹣∠6=112.5°．
，
5．已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD．
【解答】证明：∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC，
∵点D、E分别是AB、AC的中点． ∴AD=AE，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD， ∴BE=CD．
6．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．
【解答】解：（1）证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD=∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BEO， ∴∠AEC=∠BED． 在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）． （2）∵△AEC≌△BED， ∴EC=ED，∠C=∠BDE． 在△EDC中， ∵EC=ED，∠1=42°， ∴∠C=∠EDC=69°， ∴∠BDE=∠C=69°．
7．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O． 求证：OE=OF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵BE=DF，
∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF， ∵AB∥CD， ∴AE∥CF，
∴∠E=∠F，∠OAE=∠OCF， 在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF．
8．如图，在▱ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE=CF．
，
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠BAC=∠DCA，
∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠DCA， ∴∠EAB=∠FCD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠BEA=∠DFC=90°， 在△BEA和△DFC中，∴△BEA≌△DFC（AAS）， ∴AE=CF．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AE∥CF．
，
【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵BF=ED， ∴OE=OF， ∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE∥CF．
10．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF ∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL）， ∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD， ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90° 又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
11．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．
∵AE=CF， ∴DE=DF，
在△ADF和△CDE中∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠DAF=∠DCE， 在△AGE和△CGF中，∴△AGE≌△CGF（AAS）， ∴AG=CG．
12．如图，在矩形ABCD，AD=AE，DF⊥AE于点F．求证：AB=DF．
， ，
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B=90°， ∴∠AEB=∠DAE， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD=∠B=90°， 在△ABE和△DFA中 ∵
∴△ABE≌△DFA， ∴AB=DF．
13．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF． 求证：∠ABF=∠CBE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∠A=∠C， ∵在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴∠ABF=∠CBE．
14．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF． 求证：（1）△ADE≌△CDF； （2）∠BEF=∠BFE．
，
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD，∠A=∠C， ∵DE⊥BA，DF⊥CB， ∴∠AED=∠CFD=90°， 在△ADE和△CDF， ∵，
∴△ADE≌△CDF；
（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CB， ∵△ADE≌△CDF， ∴AE=CF， ∴BE=BF， ∴∠BEF=∠BFE．
15．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°， ∵BF⊥CE，
∴∠BCE+∠CBG=90°， ∵∠ABF+∠CBG=90°， ∴∠BCE=∠ABF， 在△BCE和△ABF中
，
∴△BCE≌△ABF（ASA）， ∴BE=AF．
16．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AD，DC上，且AE=DF． 求证：BE=AF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=DA，∠BAE=∠ADF=90°， 在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴BE=AF．
17．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）求∠AED的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形， ∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°， ∴∠ABE=∠ECD=30°， 在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
（2）∵BA=BE，∠ABE=30°， ∴∠BAE=（180°﹣30°）=75°， ∵∠BAD=90°，
∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°， ∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．
18．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．
【解答】证明：取AB的中点H，连接EH； ∵∠AEF=90°， ∴∠2+∠AEB=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1+∠AEB=90°， ∴∠1=∠2，
∵E是BC的中点，H是AB的中点， ∴BH=BE，AH=CE， ∴∠BHE=45°，
∵CF是∠DCG的角平分线， ∴∠FCG=45°， ∴∠AHE=∠ECF=135°， 在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF．
19．已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠DAB=∠C=90°， ∴∠FAD=180°﹣∠DAB=90°． 在△DCE和△DAF中，
，
∴△DCE≌△DAF（SAS）， ∴DE=DF．
20．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F． 求证：BE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC=BD，则BO=CO． ∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F， ∴∠BEO=∠CFO=90°． 又∵∠BOE=∠COF， ∴△BOE≌△COF． ∴BE=CF．
21．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE． （1）求证：BE=CE． （2）求∠BEC的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90° ∵三角形ADE为正三角形 ∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60° ∴∠BAE=∠CDE=150° 在△BAE和△CDE中∴△BAE≌△CDE ∴BE=CE；
（2）∵AB=AD，AD=AE， ∴AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB， 又∵∠BAE=150°， ∴∠ABE=∠AEB=15°， 同理：∠CED=15°
∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．
，
【解答】（1）证明：如图，连接OC． ∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°． ∵OA=OC，∠BCD=∠A，
∴∠ACO=∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°， ∴CD是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4， ∴OD==5，
∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．
23．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O直径 ∴∠ADB=90°
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25° ∴∠B=25°
∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F． （1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=10，AE=8，求BF的长．
【解答】解：（1）连接OD、AD，
∵DE切⊙O于点D， ∴OD⊥DE， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=AC， ∴D是BC的中点， 又∵O是AB中点， ∴OD∥AC， ∴DE⊥AC；
（2）∵AB=10， ∴OB=OD=5， 由（1）得OD∥AC， ∴△ODF∽△AEF， ∴==，
设BF=x，AE=8， ∴=解得：x=经检验x=∴BF=
25．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C． （1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若sin∠EGC=，⊙O的半径是3，求AF的长． ． ， ，
是原分式方程的根，且符合题意，
【解答】解：（1）如图，连接EO，则OE=OC，
∴∠EOG=2∠C， ∵∠ABG=2∠C，
∴∠EOG=∠ABG， ∴AB∥EO， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线；
（2）∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A， ∴∠A=∠C， ∴BA=BC=6，
在Rt△OEG中，∵sin∠EGO=∴OG===5， ，
∴BG=OG﹣OB=2，
在Rt△FGB中，∵sin∠EGO=∴BF=BGsin∠EGO=2×=， 则AF=AB﹣BF=6﹣=
26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长． ． ，
【解答】（1）证明：连接OD， ∵DE是切线， ∴∠ODE=90°， ∴∠ADE+∠BDO=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵OD=OB， ∴∠B=∠BDO， ∴∠ADE=∠A．
（2）连接CD． ∵∠ADE=∠A， ∴AE=DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°， ∴EC是⊙O的切线， ∴ED=EC， ∴AE=EC， ∵DE=10， ∴AC=2DE=20， 在Rt△ADC中，DC==12，
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202， ∴x2+122=（x+16）2﹣202， 解得x=9， ∴BC==15．
27．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线． （2）若BC=3，CD=3，求弦AD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵AD平分∠EAC， ∴∠1=∠3， ∵OA=OD， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠2， ∴OD∥AE，
∵AE⊥DC， ∴OD⊥CE， ∴CE是⊙O的切线；
（2）连接BD． ∵∠CDO=∠ADB=90°，
∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C， ∴△CDB∽△CAD， ∴==，
∴CD2=CB•CA， ∴（3）2=3CA，
∴CA=6， ∴AB=CA﹣BC=3，==，设BD=
K，AD=2K，
在Rt△ADB中，2k2+4k2=9， ∴k=∴AD=， ．
28．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO． （1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．
【解答】（1）证明：∵DE是切线， ∴OC⊥DE， ∵BE∥CO， ∴∠OCB=∠CBE， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠CBE=∠CBO， ∴BC平分∠ABE．
（2）在Rt△CDO中，∵DC=8，OC=0A=6， ∴OD=∵OC∥BE， ∴∴==， ， =10，
∴EC=4.8．
29．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
【解答】解：连接OD，作OF⊥BE于点F． ∴BF=BE， ∵AC是圆的切线， ∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°， ∴四边形ODCF是矩形， ∵OD=OB=FC=2，BC=3， ∴BF=BC﹣FC=BC﹣OD=3﹣2=1， ∴BE=2BF=2．
30．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC． （1）求证：AC平分∠DAO． （2）若∠DAO=105°，∠E=30° ①求∠OCE的度数； ②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．
【解答】解：（1）∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴AD∥OC， ∴∠DAC=∠OCA， ∵OC=OA， ∴∠OCA=∠OAC， ∴∠OAC=∠DAC， ∴AC平分∠DAO；
（2）①∵AD∥OC， ∴∠EOC=∠DAO=105°， ∵∠E=30°， ∴∠OCE=45°； ②作OG⊥CE于点G，
则CG=FG=OG， ∵OC=2，∠OCE=45°，
∴CG=OG=2， ∴FG=2，
在Rt△OGE中，∠E=30°， ∴GE=2∴
31．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB． （1）求证：CE=CB； （2）若AC=2，CE=，求AE的长． ，
．
【解答】（1）证明：连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD． ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠1=∠3． 又OA=OC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2， ∴CE=CB；
（2）解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=2，CB=CE=，
∴AB===5．
∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2， ∴△ADC∽△ACB， ∴==，即==
，
∴AD=4，DC=2． 在直角△DCE中，DE=∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3．
=1，
32．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D． （1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB=CD，求⊙O半径．
【解答】（1）证明：如图，连接CO，
，
∵CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD=90°，
∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACO=∠BCD， ∵∠ACO=∠CAD， ∴∠CAD=∠BCD， 在△ADC和△CDB中，
∴△ADC∽△CDB．
（2）解：设CD为x， 则AB=x，OC=OB=x， ∵∠OCD=90°， ∴OD===x，
∴BD=OD﹣OB=x﹣x=x， 由（1）知，△ADC∽△CDB， ∴即=， ，
解得CB=1， ∴AB=∴⊙O半径是
33．如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC． =． ，
（1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若∠P=60°，PC=2，求PE的长．
【解答】解：（1）连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BCO+∠ACO=90°， ∵OC=OB， ∴∠B=∠BCO， ∵∠PCA=∠ABC， ∴∠BCO=∠ACP， ∴∠ACP+∠OCA=90°， ∴∠OCP=90°， ∴PC是⊙O的切线；
（2）∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°， ∴OC=2，OP=2PC=4，
． ∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4﹣2
34．如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P． （1）求证：AP=AB；
（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长．
【解答】（1）证明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∵AB是⊙O的切线， ∴OB⊥AB， ∴∠OBA=90°， ∴∠ABP+∠OBC=90°， ∵OC⊥AO， ∴∠AOC=90°， ∴∠OCB+∠CPO=90°， ∵∠APB=∠CPO， ∴∠APB=∠ABP， ∴AP=AB．
（2）解：作OH⊥BC于H． 在Rt△OAB中，∵OB=4，AB=3， ∴OA=∵AP=AB=3， ∴PO=2． =5，
在Rt△POC中，PC=∵•PC•OH=•OC•OP， ∴OH=∴CH=∵OH⊥BC， ∴CH=BH， ∴BC=2CH=∴PB=BC﹣PC=，
﹣2===，
， =2，
．
35．如图，已知AB是⊙O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA=PC，∠C=30°．
（1）求证：CP是⊙O的切线．
（2）若⊙O的直径为8，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OP，如图所示： ∵PA=PC，∠C=30°， ∴∠A=∠C=30°，
∴∠APC=120°， ∵OA=OP， ∴∠OPA=∠A=30°， ∴∠OPC=120°﹣30°=90°， 即OP⊥CP， ∴CP是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠APB=90°，
∴∠OBP=90°﹣∠A=60°， ∵OP=OB=4，
∴△OBP是等边三角形， ∴∠POC=60°， ∵OP⊥CP， ∴∠C=30°， ∴OC=2OP=2OB=8， ∴PC===
4，
﹣××4×4
=
﹣∴阴影部分的面积=扇形OBP的面积﹣△OBP的面积=4．
36．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积； （3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM， ∴∠MAN=∠DAM，
∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB， ∴∠DAM=∠MAN=∠NAB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAM=30°，
∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×
=
；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC， ∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1， ∴∠MAQ=∠AMQ， ∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x， ∵∠ANM=90°， ∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，
∴（x+1）2=32+x2， 解得：x=4， ∴NQ=4，AQ=5， ∵AB=4，AQ=5，
∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC， ∴∠HBA=∠BFC， ∵∠AHB=∠BCF=90°， ∴△ABH∽△BFC， ∴=，
；
∵AH≤AN=3，AB=4，
∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示： 由折叠性质得：AD=AH， ∵AD=BC， ∴AH=BC，
在△ABH和△BFC中，∴△ABH≌△BFC（AAS）， ∴CF=BH， 由勾股定理得：BH=∴CF=，
． =
=
，
，
∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣
37．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F． （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC， ∠ABP=∠CBP=45°， 在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC， ∵PA=PE， ∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°， 在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∠BAP=∠BCP， ∵PA=PE， ∴PC=PE， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC， ∴∠DAP=∠AEP， ∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP， 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形， ∴PC=CE， ∴AP=CE．
