平方根
一、教学目的
1．使学生了解平方根和算术平方根的意义。
2．使学生会用根号表示一个数的平方根和算术平方根。
二、教学重点、难点
重点：平方根和算术平方根。 难点：算术平方根。
三、教学过程
引言：我们来看下面的问题
一个面积为50m2的正方形展览厅，它的边长是多少？
一个容积为0.125立方米的正方体木箱，它的棱长应是多少？ 一个数的平方等于100，这个数是多少？
这些问题的共同点是：已知乘方的结果（即幂）的值，求底数的值。为了解决这个问题，就要进行乘方运算的逆运算，也就是要进行开方运算。
这一章里，我们要学习数的开方和料数的初步知识。
新课
1．平方根
一个数的平方是9，那么这个数是什么数？ 因为32=9，（-3）2=9，所以这个数是3或-3。
4一个数的平方是，那么这个数是什么数？
25424222,因为，所以这个数是或-。 2552555522一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（二次方根）。就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
224上面，3与-3都是9的平方根。与-都是的平方根。
552511想一想，100的平方根是什么数？（10或-10），呢？（答：的平方
0110011根是或-）
1010从上面看出，正数的平方根有两个，这两上平方根互为相反数。例如9的平方根3与-3互为相反数。
因为02=0，且任何不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，就是0本身。
因为正数、零、负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根。例如-4没有平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0有一个平方根，就是0本身。 负数没有平方根。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
我们看到3与-3的平方是9，9的平方根是3与-3。就是说，平方与开平方互为逆运算。根据这种关系，我们可以：
（1）通过平方运算来求一个数的平方根；（2）检验一个数是不是另一个数的平方根。
一个正数a的正的平方根用符号2a来表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根，用符号“2a”表示。这两个平方根合起来可以记作“2a”。这里，符号“2”读作“二次根号”，2a读作“二次根号a”，根指数是2时，通过常将这个2省略不写，如2a记作a，读作“根号a”；2a记作a，读作“正负根号a”，。
例1 求下列各数的平方根：
161（1）81； （2）； （3）2； （4）0.49。
2542解：（1）（±9）=81， ∴81的平方根是±9，即81=±9。
164（2）∵，
2552∴
164164。 的平方根是，即255255（3）∵21939,()2， 442419313。 ∴2的平方根是，即244242（4）（±0.7）2=0.49，
∴0.49的平方根是±0.7,即0.490.7。
注意：正数的平方根有两个，例如，81的平方根是81，81只是其中的一个正根。
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，要说明理由。
（1）-64； （2）0； （3）（-4）2； （4）10-2。 解：（1）因为-64是负数，所以-64没有平方根； （2）0只有一个平方根，它是零；
22（3）因为（-4）=16>0，所以（-4）有两个平方根，且(4)2164； 111-2-210（4）因为10有= 两个平方根，且。 21021010想一想：为什么(4)24？
424是否成立？
2．算术平方根
正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫做a的算术平方根。记作a。例如9的算术平方根是3，即93。又如164,0.010.1等等。由于正数a的两个平方根互为相反数，当已知它的算术平方根a时，可以立即写出它的负平方根-a。
0的平方根，也叫0的算术平方根，即00。
注意：当a是正数或零（又叫非负数）时，a表示a的算术平方根，它也是一个非负数。就是说，当式子a有意义时，它一定是个非负数。
例3 求下列各数的算术平方根：
49（1）100； （2）； （3）0.81。
642解：（1）∵10=100， ∴100的算术平方根是10，即10010。
497（2）∵，
8642∴
497497。 的算术平方根是，即
648648（3）∵（0.9）2=0.81，
∴0.81的算术平方根是0.9，即0.810.9。
注意：100的平方根是10和-10，而其算术平方根是10。
例4 求下列各式的值：
（1）10000； （2）144； （3）
49。 8125； （4）0.0001； 121（5）625； （6）2解：（1）∵100=10000，∴10000=100。
（2）∵122=144，∴144=-12。
255525。 （3）∵()2，∴
1211111121（4）∵（0.01）2=0。0001，∴0.0001=-0.01。 （5）∵252=625，∴62525。
497749。 （6）∵()2，∴819981注意：由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，a≥0（当a
小结：平方根和算术平方根是即有区别又有联系的两个概念。区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根有1个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。零的平方根和算术平方根是一回事。
例5 解方程25x2=36。
36解：两边同除以25，得x2，
25∴x366，即x。 255例6 求值：
（1）8136； （2）0.36解：（1）8136 =9+6=15。 （2）0.36 =0.64 1214。 1212326。 1151155课时安排：本课题约需3课进，分配如下：
第一课时
内容：平方根，例1，例2。 练习：P117中练习1~4。
作业：P121中习题10.1 A组1，2，3。
第二课时
内容：算术平方根，例3，例4。 练习：P120中练习1~5。
作业：P121中习题10.1 A组4。
第三课时
内容：小结，平方根和算术根的区别和联系。 练习：P121中习题10.1 A组5（1），（2），6（1）。 作业：P121中习题10.1 A组5（3），6（3），7B组1，2。
四、需要注意的几个问题
1．平方根和算术平方根属于本章的重点内容。其学习意义在于：是正确进行求平方运算的前提，是学习实数的预备知识，有助于了解更高次的方根的概念。为学习本章后面的二次根式，一元二次方程等知识打下基础。
2．对于数的平方根有两点一开始学生可能不习惯，一是正数有两个平方根，即正数开平方运算有两个结果，这与过去遇到的运算结果唯一的情况不同；二是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种情况在有理数的前五种代数运算中，一般不会碰到（0作除数的情况除外）。
3．要切实弄清以下几种运算关系 （-4）2=（-4）×（-4）=16，
(4)2164；
-42=-（4×4）=-16，42164； ±3表示3或-3两个数，(3)293。
4．必须强调a,a,a这三种符号所表示的意义的区别。
当a为正数时，a表示a的算术平方根；a表示a的负平方根；a表示a的平方根（互为相反数的两个数）。
