推理与证明
一、推理●1.归纳推理
1）归纳推理的定义：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论。 2）归纳推理的思维过程大致如图：
●2.类比推理
1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。
2）类比推理的思维过程是：
●3.演绎推理
1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
2）主要形式是三段论式推理，常用的格式为：M——P （M是P）
①S——M （S是M） ②S——P （S是P）
③
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
二、证明
●1.直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。
1）综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式。
●2.间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。（所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。常见的“结论词”与“反议词”如下表：
要点考向1：合情推理
例
1、(2012年陕西)观察下列不等式
1＋12321＋121353，1＋1213＋147
4，… 照此规律，第五个不等式为________．
【思路启迪】 先根据已知的不等式归纳两边式子的特征，找出其规律性，然后写出第五个不等式【解析】 由已知的不等式，可知不等式的右边为数列{
1n}的前n(n≥2)项和，不等式的左边是分式，与不等式的左边相比，很
容易观察出该分式的分母为n，分子为2n－1，由归纳推理，可得不等式应为1＋12＋112n－1
3＋…＋n
第五个不等式，n＝6，此时不等式为1＋1111111
2345＋6
(1)对有限的条件进行观察、分析，先把已知条件的形式整理成统一的形式．
(2)对有限的条件进行归纳、整理，一般的思路是先整体，后部分．如例1中，观察不等式的左边是一些分数的和，进而分析这些分数的分子和分母的特征，总结出规律，然后分析不等式右边分数的特点，从而得出正确的结论． (3)提出归纳推理的结论．
例
2、二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表
面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝
433，观察发现V′＝S.则四维空间中“超球”的四维测度W＝2πr4，猜想其三维测
度V＝________.【思路启迪】 根据已知条件，可类比一维测度与二维测度之间的关系以及二维测度与三维测度之间的关系猜想三维测度与四维测度之间的关系，从而得出相应的结论．
【解析】 由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V＝W′＝(2πr4)′＝8πr3.故填8πr3.【方法归纳】 类比推理的一般步骤
(1)定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征，如【例2】中两类不同的测度之间的关系——导数关系； (2)推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
(3)检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．
要点考向2：演绎推理
例题
3、对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，
若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝11
53x32x2＋3x－12，请你根据这
一发现，则
(1)函数f(x)＝13x3－12x2＋3x5
1
2________；
(2)计算f12 013＋f22 013＋f32 013＋f42 013＋…＋f2 0122 013＝________.答案；（1）对称中心为12，1
.（2）2012 【试一试】
1．已知下列不等式：
x＋1x，x＋4x，x27
x，…则第n个不等式为． n
答案：xn
x
≥n＋1，n∈N*
2．在面积为S的正三角形ABC中，E是边AB上的动点，过点E作EF∥BC，交AC于点F，当点E运动到离边BC的距离为△ABC12时，△EFB
14.类比上面的结论，可得在各棱长相等的体积为V的
四面体ABCD中，E是棱AB上的动点，过点E作平面EFG∥平面BCD，分别交AC，AD于点F，G，则四面体EFGB的体积的最大值等于______．
解析：类比等边三角形中的结论，当E点运动到与平面BCD的距离为正四面体高的1
3时，四面体EFGB的体积取
得最大值，此时四面体EFGB的底面EFG的边长为正四面体ABCD2
3所以四面体EFGB的体积为正四面
体ABCD体积的23213427.故四面体EFGB的体积为
427V.3．记函数f(x)的导数为f(1)(x)，f(1)(x)的导数为f(2)(x)，…，f(n
－1)
(x)的导数为f(n)(x)(n∈N*)．若f(x)可进行n次求导，
ff2f3f
n则f(x)均可近似表示为：f(x)≈f(0)＋
1！x
2！＋
3！x＋…＋n
n！x.若取n＝4，根据这个结论，则可近似估计自然
对数的底数e≈________(用分数表示)(注：n！＝n×(n－1)×…×2×1)．
解析：若f(x)可进行n次求导，则f(x)均可近似表示为：f(x)≈f(0)
f1！＋
f2！x2＋…＋fnn
n！x.(大前提)
因为f(x)＝ex可进行n次求导，(大前提)
所以f(1)≈f(0)＋
ff2f3f4
f
n1！1＋
2！×1
3！×1＋
4！1＋…＋n！1n.所以e≈e0
e0e02e03e04e01！1＋2！1＋3！×1＋4！1＋…＋n！
×1n
.(小前提)
取n＝4，即e≈1＋111165
1！＋2！3！＋4！24.(结论)
要点考向3：直接证明与间接证明
例
4、设a≥b＞0,求证：3a
32b3
≥3a
2b2ab2
.证明：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2
)(ab).因为a≥b＞0,所以ab≥0，3a2
2b2
＞0，
从而(3a22b2)(ab)≥0， 即3a3
2b3
≥3a2
b2ab2
.
例
5、若x,yR,x0,y0,且xy2求证：
1xy和1y
x
中至少有一个小于2.假设它们都不小于2,则有
1+x1y2,y
x
2证明：则1x2y,1y2x
两式相加得: 2xy与已知矛盾,故原命题成立.注：（1）有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；
（2）综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用。 【试一试】
4.求证：
(1)a2b23abab);(2) 6+7>22+5。
证明：（1） ∵a2b2
2ab,a23
,b23;
将此三式相加得
2(a2b23)2ab,
∴a2b23abab).
（2）要证原不等式成立，只需证（6+7）2>（22+5）2，即证242240。 ∵上式显然成立, ∴原不等式成立.
要点考向4：数学归纳法
数列an满足Sn
2nan，nN.(Sn为前n项的和）(1)计算a
1、a
2、、a
3、a4，并由此猜想通项公式an； （2）用数学归纳法证明（1）中的结论
注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。
（2）在本例证明过程中，①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，②在由n=k到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。
（3）在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。
