《充要条件证明题》
1、数列{xn}满足:x10,xn1xnxnc(nN)证明:数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c0
证明:必要条件:当c0时,xn1xnxncxn数列{xn}是单调递减数列充分条件:数列{xn}是单调递减数列x1x2x1x1ccx10得:数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c0
2、设数列a1,a2,an中的每一项都不为0.证明,an为等差数列的充分必要条件是:对任何nN,都有证明:先证必要性
设数列{an}的公差为d,若d0,则所述等式显然成立, 若d0,则
2
2
2
2
*
111n.a1a2a2a3anan1a1an1
111
a1a2a2a3anan1
aan1a2a1a3a2
(n1)da1a2a2a3anan3
1111111(()()())da1a2a2a3anan1
1111an1a1()da1an1da1an1n
.a1an1
再证充分性.
证法1:(数学归纳法)设所述的等式对一切nN都成立,首先,在等式
112
① a1a2a2a3a1a3
两端同乘a1a2a3,即得a1a32a2,所以a1,a2,a3成等差数列, 记公差为d,则a2a1d.
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