高等数学教案
第四章
不定积分
教学目的:
第四章
不定积分
1、理解原函数概念、不定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法(第一,第二)与分部积分法。
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点:
1、不定积分的概念;
2、不定积分的性质及基本公式;
3、换元积分法与分部积分法。 教学难点:
1、换元积分法;
2、分部积分法;
3、三角函数有理式的积分。 §4 1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
定义
1如果在区间I上 可导函数F(x)的导函数为f(x) 即对任一xI 都有
F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数
例如 因为(sin x)cos x 所以sin x 是cos x 的原函数
又如当x (1 )时
因为(x)1 所以x是1的原函数
2x2x
提问:
cos x和1还有其它原函数吗?
2x
原函数存在定理
如果函数f(x)在区间I上连续 那么在区间I上存在可导函数F(x) 使对任一x I 都有
F (x)f(x)
简单地说就是 连续函数一定有原函数
两点说明
第一 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x) 那么f(x)就有无限多个原函数 F(x)C都是f(x)的原函数 其中C是任意常数
第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数 则 (x)F(x)C
(C为某个常数)
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不定积分
定义2 在区间I上 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分 记作
f(x)dx
其中记号称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx称为被积表达式 x 称为积分变量
根据定义 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数 那么F(x)C就是f(x)的不定积分 即
f(x)dxF(x)C
因而不定积分f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数
例1因为sin x 是cos x 的原函数所以
cosxdxsinxC
因为x是1的原函数所以
2x
例2.求函数f(x)1的不定积分
x 解:当x>0时(ln x)1
x
1 dxlnxC(x>0)
x
当x
xx
1 dxln(x)C(x
x 合并上面两式得到
1 dxln|x|C(x0)
x
例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程
解 设所求的曲线方程为yf(x) 按题设 曲线上任一点(x y)处的切线斜率为yf (x)2x,
,
即f(x)是2x 的一个原函数
因为
2xdxx2C
高等数学课程建设组2 21dxxC x高等数学教案
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不定积分
故必有某个常数C使f(x)x 2C 即曲线方程为yx 2C
因所求曲线通过点(1 2) 故
21C
C1
于是所求曲线方程为yx21
积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线
从不定积分的定义 即可知下述关系
d[f(x)dx]f(x)
dx或
d[f(x)dx]f(x)dx
又由于F(x)是F (x)的原函数 所以
F(x)dxF(x)C
或记作
dF(x)F(x)C
由此可见 微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算 以记号表示)是互逆的 当记号与d 连在一起时 或者抵消 或者抵消后差一个常数
二、基本积分表 (1)kdxkxC(k是常数)
(2)xdx1x1C
1(3)1dxln|x|C
x(4)exdxexC
x(5)axdxaC
lna(6)cosxdxsinxC
(7)sinxdxcosxC
(8)(9)1dxsec2xdxtanxC cos2x1dxcsc2xdxcotxC
sin2x高等数学课程建设组3 高等数学教案
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不定积分
(10)12dxarctanxC
1x(11)1dxarcsinxC
1x2(12)secxtanxdxsecxC
(13)cscxcotdxcscxC
(14)sh x dxch xC
(15)ch x dxsh xC
例4
例5 x3dxx3dx31x31C2x2C
x2111xdx5x2dx71122xCx2C2x3xC 517725
例6 dxx3x4x3dx41x3413C13x3C33C
x
三、不定积分的性质
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即
[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx
这是因为, [f(x)dxg(x)dx][f(x)dx][g(x)dx]f(x)g(x).
性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 即
kf(x)dxkf(x)dx(k是常数 k 0)
例7.x(x5)dx5x2dx725(x215x2)dx 5x2dx51x2dx 15x2dx322 x25x2C
7332(x1)3x3x3x1dx(x331)dx 例8 dx22xx2xx xdx3dx31dx12dx1x23x3ln|x|1C
x2xx高等数学课程建设组4 高等数学教案
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例9 (ex3cosx)dxexdx3cosxdxex3sinxC
xx(2e)xC2eC
例10 2edx(2e)dxln(2e)1ln2xxx1xx2dxx(1x2)dx(11)dx 例11 x(1x2)1x2x
x(1x2) 12dx1dxarctanxln|x|C
x1x44(x21)(x21)1xx11 例12 dxdxdx
1x21x21x2 (x2112)dxx2dxdx12dx
1x1x 1x3xarctanxC
3 例13 tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdx
tan x x C
例14 sin2x dx1cosxdx1(1cosx)dx
222 例15 1(xsinx)C
21dx412dx4cotxC
sinxsin2xcos2x22
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不定积分
§4 2 换元积分法
一、第一类换元法
设f(u)有原函数F(u)
u(x) 且(x)可微 那么 根据复合函数微分法 有 d F[(x) ]d F(u)F (u)d u F [(x) ] d(x) F [(x) ](x)d x 所以
F [(x)](x)dx F [(x)] d(x) F (u)d u d F(u)d F[(x) ]
因此
F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)
F(u)dudF(u)dF[(x)]F[(x)]C 即
f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)
[F(u) C] u (x) F[(x)]C
定理
1设f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式
f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)duF(u)CF[(x)]C
被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待 从而微分等式(x)dx du可以应用到被积表达式中
在求积分g(x)dx时 如果函数g(x)可以化为g(x) f[(x)](x)的形式 那么
g(x)dxf[(x)](x)dx[f(u)du]u(x)
例1.2cos2xdxcos2x(2x)dxcos2xd(2x)
cosudusinuCsin 2xC
例2.32xdx232x(32x)dx232xd(32x) 11111
11dx1ln|u|C1ln|32x|C
2u22 例3.2xexdxex(x2)dxexd(x2)eudu
euCexC
例4.x1x2dx11x2(x2)dx11x2dx2 2
2 11x2d(1x2)1u2du1u2C
22
3 1(1x2)2C
3高等数学课程建设组6 3132222高等数学教案
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例5.tanxdxsinxdx1dcosx
cosxcosx
1duln|u|C u
ln|cos x|C
即
tanxdxln|coxs|C
类似地可得cotxdxln|sinx|C
熟练之后 变量代换就不必再写出了
例6.a2x2dxa2111dx
1(x)2a
11dx1arctanxC
a1(x)2aaaa 即 nC a2x2dxaarctaa11x 例7.chxdxachxdxa shxC
aaaa 例8.当a0时,
1dx111xndxdxarcsiC
aaaxxa2x2221()1()aa
即 xn1dxarcsiC
22aax 例9.x2a2dx2a(xaxa)dx2a[xadxxadx] 1111111
1[1d(xa)1d(xa)]
2axaxa
1[ln|xa|ln|xa|]C1ln|xa|C
2a2axa 即 x2a2dx2aln|xa|C 11xa 例10.x(12lnx)12lnx2dxdlnx1d(12lnx)
12lnx
1ln|12lnx|C
2高等数学课程建设组7 高等数学教案
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3x 例11.edx2e3xdx2e3xd3x
3x
2e3xC
3含三角函数的积分
例12.sin3xdxsin2xsinxdx(1cos2x)dcosx
dcosxcos2xdcosxcosx1cos3xC
3 例13.sin2xcos5xdxsin2xcos4xdsinx
sin2x(1sin2x)2dsinx
(sin2x2sin4xsin6x)dsinx
1sin3x2sin5x1sin7xC357 例14.cos2xdx1cos2xdx1(dxcos2xdx)
22
1dx1cos2xd2x1x1sin2xC
2424 例15.cos4xdx(cos2x)2dx[1(1cos2x)]2dx
2 1(12cos2xcos22x)dx
4 1(32cos2x1cos4x)dx
422
1(3xsin2x1sin4x)C 428
3x1sin2x1sin4xC
8432 例16.cos3xcos2xdx1(cosxcos5x)dx
2
1sinx1sin5xC
2101 例17.cscxdx1dxdx
xxsinx2sincos22高等数学课程建设组8 高等数学教案
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dxdtanx22ln|tanx|Cln |csc x cot x |C
2tanxcos2xtanx222 即
cscln |csc x cot x |C xdx 例18.secxdxcsc(x)dxln|csc(x )cot(x )|C
222
ln |sec x tan x | C
即
secln |sec x tan x | C xdx
二、第二类换元法
定理2 设x (t)是单调的、可导的函数 并且(t)0 又设f [(t)](t)具有原函数F(t) 则有换元公式
f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)F[1(x)]C
其中t(x)是x(t)的反函数
这是因为
{F[1(x)]}F(t)dtf[(t)](t)1f[(t)]f(x)
dxdxdt 例19.求a2x2dx(a>0)
解: 设xa sin t t 那么a2x2a2a2sin2tacost
22dx a cos t d t 于是
a2x2dxacostacostdt
a2cos2tdta2(1t1sin2t)C
2422x因为tarcsin, sin2t2sintcost2xax 所以
aaa2a11axdxa(tsin2t)Carcsinx1xa2x2C
242a2222
解: 设xa sin t t 那么
22高等数学课程建设组9 高等数学教案
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a2x2dxacostacostdt
2 a2cos2tdta2(1t1sin2t)Caarcsinx1xa2x2C
242a2提示:a2x2a2a2sin2tacost dxacos tdt
22提示: tarcsinx, sin2t2sintcost2xax
aaa
例20.求dx(a>0)
x2a
2解法一 设xa tan t t 那么
22x2a2a2a2tan2ta1tan2ta sec t dxa sec 2t d t 于是
2asectdtsectdt ln |sec t tan t |C
dxasectx2a222因为sectxa tantx 所以
aadx ln |sec t tan t |Cln(xx2a2)Cln(xx2a2)C
1aax2a2其中C 1Cln a
解法一 设xa tan t t 那么
22
dxasec2tdtsectdtln|secttant|C
asectx2a222xxa
ln()Cln(xx2a2)C1
aa其中C 1Cln a
提示:x2a2a2a2tan2tasect dxa sec 2t dt
22提示:sectxa tantx
aa
解法二: 设xa sh t 那么
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dxach tdtdttCarshxC
ach tax2a2
lnx(x)21Cln(xx2a2)C1
aa其中C 1Cln a
提示: x2a2a2sh2ta2a ch t dx a ch t d t
例23.求dx(a>0)
x2a2
解: 当x>a 时 设xa sec t (0t ) 那么
2x2a2a2sec2ta2asec2t1a tan t
于是
dxasecttantdtsectdt ln |sec t tan t |C
atantx2a222因为tantxa sectx 所以
aadx ln |sec t tan t |C ln|xx2a2|Cln(xx2a2)C
1aax2a2其中C 1Cln a
当xa 于是
dxduln(uu2a2)C x2a2u2a2
ln(xx2a2)Cln(xx2a2)C1
22xxalnCln(xx2a2)C1
2a其中C 1C2ln a
综合起来有
dxln|xx2a2|C 22xa
解: 当x>a 时 设xa sec t (0t ) 那么
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dxasecttantdtsectd t 22atantxa22
ln|setctant|Clnx(xa)C
aa
lnx(x2a2)C
其中C 1Cln a
当xa 于是
dxduln(uu2a2)C x2a2u2a22222xxa
ln(xxa)ClnC
a2
ln(xx2a2)C1
其中C 1C2ln a
提示:x2a2a2sec2ta2asec2t1atant
22xxa提示:tant sect
aa
综合起来有
dxln|xx2a2|C x2a2
补充公式
(16)tanxdxln|cosx|C cotxdxln|sinx|C (18)secxdxln|secxtanx|C (19)cscxdxln|cscxcotx|C (20)(21)(22)(23)1dx1arctanxC
aaax221dx1ln|xa|C2axaxa221dxarcsinxC
aa2x2
dxln(xx2a2)C
x2a2高等数学课程建设组12 高等数学教案
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(24) dxln|xx2a2|C
x2a2
§4 3 分部积分法
设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为
(uv)uvuv
移项得
uv(uv)uv
对这个等式两边求不定积分 得
uvdxuvuvdx或udvuvvdu 这个公式称为分部积分公式
分部积分过程: uvdxudvuvvduuvuvdx
例1 xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxx sin xcos xC
例2 xexdxxdexxexexdxxexexC
例3 x2exdxx2dexx2exexdx2
x2ex2xexdxx2ex2xdexx2ex2xex2exdx
x2ex2xex2exC ex(x22x2 )C
例4 xlnxdx1lnxdx21x2lnx1x21dx
222x1x2lnx1xdx1x2lnx1x2C
2224 例5 arccosxdxxarccosxxdarccosx
xarccosxx1dx
1x21
xarccosx1(1x2)2d(1x2)xarccosx1x2C
2 例6 xarctanxdx1arctanxdx21x2arctanx1x212dx
2221x
1x2arctanx1(112)dx
221x高等数学课程建设组13 高等数学教案
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不定积分
1x2arctanx1x1arctanxC
222 例7 求exsinxdx
解 因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinx
exsinxexcosxdxexsinxcosxdex
exsinxexcosxexdcosx
exsinxexcosxexdcosx
exsinxexcosxexsinxdx
所以
exsinxdx1ex(sinxcosx)C
例8 求sec3xdx
解 因为
sec3xdxsecxsec2xdxsecxdtanx
secxtanxsecxtan2xdx
secxtanxsecx(sec2x1)dx
secxtanxsec3xdxsecxdx
secxtanxln|secxtanx|sec3xdx
所以
se3cxdx1(secxtanxln|secxtanx|)C
2 例9 求Indx 其中n为正整数 (x2a2)n 解 I12dx21arctanxC
axaa
当n1时,用分部积分法 有
dxxx2dx 2(n1)(x2a2)n1(x2a2)n1(x2a2)n高等数学课程建设组14 高等数学教案
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x1a2]dx 2(n1)[(x2a2)n1(x2a2)n(x2a2)n1x即 In122(n1)(In1a2In) 2n1(xa)
于是 In1[2x2n1(2n3)In1] 2a(n1)(xa)2以此作为递推公式 并由I1 例10 求exdx 1xarctanC即可得In aa 解 令x t 2 则 dx2tdt 于
exdx2tetdt2et(t1)C2ex(x1)C
exdxexd(x)22xexdx
2xdex2xex2exdx
2xex2exC2ex(x1)C
第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分
f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)令(x)uf(u)du
u(x)v(x)dxu(x)dv(x) u(x)v(x)v(x)du(x) 哪些积分可以用分部积分法?
xcosxdxxexdxx2exdx xlnxdx arccosxdx xarctanxdx exsinxdx sec3xdx
2xexdxexdx2eudu x2exdxx2dexx2exexdx2
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不定积分
§4
4 几种特殊类型函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的形式
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具有如下形式的函数:
P(x)a0xna1xn1an1xan
Q(x)b0xmb1xm1bm1xbm其中m和n都是非负整数a0 a1 a2 an及b0 b1 b2 bm都是实数
并且a00 b00 当nm时 称这有理函数是真分式 而当nm时 称这有理函数是假分式
假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如
x3x1x(x21)1x1
x21x21x2
1真分式的不定积分
求真分式的不定积分时 如果分母可因式分解 则先因式分解 然后化成部分分式再积分
例1 求 解 x3dx
x25x6x25x6dx(x2)(x3)dx(x3x2)dx x3x36
5 6dx5dx6ln|x3|5ln|x2|C
x3x2提示 (AB)x(2A3B)x3
AB(x2)(x3)x3x2(x2)(x3)AB1 3A2B3 A6 B5
分母是二次质因式的真分式的不定积分
例2 求 解 x2dx
x2x32x22x3dx(2x22x33x22x3)dx x212x21dx
122x2dx3212x2x3x2x3d(x22x3)d(x1)13
2 2x2x3(x1)2(2)
2 1ln(x22x3)3arctanx1C
2221(2x2)3提示 2x222
12x2321x2x3x2x32x2x3x2x3 例3 求1dx
x(x1)2高等数学课程建设组16 高等数学教案
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解 x(x1)2dx[xx1(x1)2]dx 1111
1dx1dx12dxln|x|ln|x1|1C
x1xx1(x1)
提示 11xx11
x(x1)(x1)2x(x1)2x(x1)21xx121112
x(x1)(x1)xx1(x1)
二、三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示
故三角函数有理式也就是sin x、cos x 的有理式
用于三角函数有理式积分的变换:
把sin x、cos x表成tanx的函数 然后作变换utanx
222tanx2tanxxx222u
sinx2sincos22sec2x1tan2x1u2221tan2xxx21u2
cosxcos2sin222sec2x1u22变换后原积分变成了有理函数的积分
例4 求1sinxdx
sinx(1cosx)2x2u2du
1u 解 令utan 则sinx cosx x2arctan u dx2221u1u21u(12u2)2du1(u21)du 1u于是 1sinxdx22usinx(1cosx)2u(11u)1u21u21u221u
(2uln|u|)C1tan2xtanx1ln|tanx|C
4222222 解 令utanx 则
2高等数学课程建设组17 高等数学教案
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不定积分
(12u2)1u
1sinxdx22du 2sinx(1cosx)2u(11u)1u1u21u2
2 1(u2uln|u|)C1(u21)du
222u
1tan2xtanx1ln|tanx|C
42222
说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如
三、简单无理函数的积分
无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去
例5 求x1dx
x 解 设x1u 即xu21 则
cosx11sinxdx1sinxd(1sinx)ln(1sinx)C
x1dxu2udu2u2du u21u21x
2(112)du2(uarctanu)C 1u
2(x1arctanx1)C
例6 求dx
1x23 解 设3x2u 即xu32 则
dx13u2du3u211du 13x21u1u
2 3(u11)du3(uuln|1u|)C
1u2
33(x2)233x2ln|13x2|C
2 例7 求dx
(13x)x 解 设xt 6 于是dx 6t 5d t
从而
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不定积分
dx6t5dt6t2dt1(13x)x(1t2)t31t26(11t2)dt6(tarctant)C
6(6xarctan6x)C
例8 求11xdx
xx 解 设1xt 即x21 于是
t1x
x11xdx(t21)t2tdt x(t21)22
22tdt2(121)dt
t1t
1 2tln|t1|C
t11xln1xxC
2
x1xx
练习
1
求dx
2cosx1t2x2
解
作变换ttan
则有dx
dt cosx21t21t22dt221tdx11t22
ddt2t1t2cosx3t31()2321t2323arctant3C23arctan(1xtan)C
23sin5xdx
4cosx4(1co2sx)2sin5xsinx
解 dxdcosxdcosx
cos4xco4sxco4sx21
(1)dcosx
cos2xcos4x
2
求
cosx
3
求21C
3cosx3cosx3x1dx
x23x2高等数学课程建设组19 高等数学教案
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不定积分
解 3x13x174dx(dx)dx (x2)(x1)x23x2x2x111dx4dx x2x1
7ln|x2|4ln|x1|C
§4.5积分表的使用
积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便往往把常用的积分公式汇集成表这种表叫做积分表求积分时可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果 积分表
一、含有axb的积分
71.dx1ln|axb|C
axba2.(axb)dx3.1(axb)1C(1) a(1)xdx1(axbbln|axb|)C axba224.xdx131(axb)22b(axb)b2ln|axb|C
axba25.6.7.8.9.dx1lnaxbC x(axb)bxdx1alnaxbC x2(axb)bxb2xx1ln|axb|bC dx(axb)2a2axbx2dx1axb2bln|axb|b2C (axb)2a3axbdx11lnaxbC x(axb)2b(axb)b2xxdx (3x4)2例1求解这是含有3x4的积分在积分表中查得公式
x1b(axb)2dxa2ln|axb|axbC
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不定积分
现在a
3、b4于是
x14(3x4)2dx9ln|3x4|3x4C
二、含有axb的积分 1.axbdx2(axb)3C
3a2.xaxbdx22(3ax2b)(axb)3C
15a3.x2axbdx4.5.2(15a2x212abx8b2)(axb)3C 105a3xdx2(ax2b)axbC
3a2axbx2dx2(3a2x24abx8b2)axbC 15a3axb6.dxxaxb7.1lnaxbbC (b0)baxbb 2arctanaxbC (b0)bbdxaxbadx
bx2bxaxbx2axb8.axbdx2axbbdx
xxaxb9.ax2bdxaxbadx xx2xaxb
三、含x2a2的积分 1.2.3.x2a2dx1arctanxC
aadxx2n3dx (x2a2)n2(n1)a2(x2a2)n12(n1)a2(x2a2)n1dx1lnxaC
x2a22axa
四、含有ax2b(a0)的积分
1abarctandx1.2axb1ln2ab2.axC (b0)b axbC (b0)axbxdx1ln|ax2b|C ax2b2a高等数学课程建设组21 高等数学教案
第四章
不定积分
3.4.5.6.7.x2dxxbdx 2axbaaax2bdx1lnx2C x(ax2b)2b|ax2b|dxx2(ax2b)1dx 1a2bxbaxbdxaln|ax2b|1C x3(ax2b)2b2x22bx2dxx11dx (ax2b)22b(ax2b)2bax2b
五、含有ax2bxc (a0)的积分
六、含有x2a2 (a0)的积分 1.2.3.4.5.6.7.8.dxarshxCln(xx2a2)C
a1x2a2dxxC
(x2a2)3a2x2a2xdxx2a2C x2a2x1dxC (x2a2)3x2a2x2dxxx2a2a2ln(xx2a2)C
22x2a2x2xdxln(xx2a2)C
22322(xa)xa22dx1lnxaaC
|x|xx2a2ax22a2dxx2C axx2a229.x2a2dxxx2a2aln(xx2a2)C 22例3求dx
x4x29dxdx1x4x292xx2(3)22解因为所以这是含有x2a2的积分这里a3在积分表中查得公式
2高等数学课程建设组22 高等数学教案
第四章
不定积分
dx1lnx2a2aC xx2a2a|x|x2(3)23dx22C1ln4x293C 12ln于是 |x|32|x|x4x292
3七、含有x2a2(a0)的积分 1.2.3.4.5.6.7.8.dxxarch|x|Cln|xx2a2|C 1ax2a2|x|dxxC
(x2a2)3a2x2a2xdxx2a2C 22xax1dxC (x2a2)3x2a2x2dxxx2a2a2ln|xx2a2|C
22x2a2x2xdxln|xx2a2|C
(x2a2)3x2a2dx1arccosaC
|x|xx2a2ax22a2dxx2C axx2a229.x2a2dxxx2a2aln|xx2a2|C 2
2八、含有a2x2(a0)的积分 1.2.3.4.5.6.dxarcsinxC
aa2x2dxxC
(a2x2)3a2a2x2xdxa2x2C 22axx1dxC (a2x2)3a2x2x2dxxa2x2a2arcsinxC
22aa2x2x2xdxarcsinxC
a(a2x2)3a2x2高等数学课程建设组23 高等数学教案
第四章
不定积分
7.8.22dx1lnaaxC |x|xa2x2ax222dxa2xC axa2x229.a2x2dxxa2x2aarcsinxC
22a
九、含有ax2bxc(a0)的积分
十、含有xa或(xa)(xb)的积分 xb十
一、含有三角函数的积分 1.secxdxln|secxtanx|C 2.cscxdxln|cscxcotx|C 3.secxtanxdxsecxC 4.cscxcotxdxcscxC 5.sin2xdxx1sin2xC
246.cos2xdxx1sin2xC
247.sinnxdx1sinn1xcosxn1sinn2xdx
nn8.cosnxdx1cosn1xsinxn1cosn2xdx nn9.sinaxcosbxdx1cos(ab)x1cos(ab)xC
2(ab)2(ab)1sin(ab)x1sin(ab)xC 2(ab)2(ab)10.sinaxsinbxdx11.cosaxcosbxdx1sin(ab)x1sin(ab)xC 2(ab)2(ab)atanxbdx22C (a2b2) 12.arctanabsinxa2b2a2b2高等数学课程建设组24 高等数学教案
第四章
不定积分
atanxbb2a2dx22lnC (a2b2) 13.22absinxbaatanxbb2a2214.dx2abarctanabtanxC (a2b2) abcosxababab2abbaC (a2b2) abbatanxdxabln214.2abcosxabbatanx2例2求dx 54cosx解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式
abarctxC (a2b2) anabtanabab2这里a
5、b4a 2b2于是
abcoxsabdx2dx2
54coxs5(4)5(4)5(4)xC arctantan
5(4)5(4)2
2arctan3tanxC
32例求sin4xdx
解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式
sinnxdx1sinn1xcosxn1sinn2xdxsin2xdxx1sin2xC
nn24这里n4于是
sin4xdx1sin3xcosx3sin2xdx1sin3xcosx3(x1sin2x)C 444424
高等数学课程建设组25