不定积分·教案示例
目的要求
1．理解原函数的定义，知道原函数的性质，会求简单函数的原函数．
2．理解不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质，会用定义求简单函数的不定积分．
内容分析
1．不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材是在学生已掌握求导数方法的基础上，研究求原函数或不定积分的．故学好“导数与微分”是学好不定积分的前提，教学时，要与“导数与微分”一章的有关内容进行对照．
2．本节教学重点是原函数和不定积分的概念教学，难点是原函数的求法．突破难点的关键是紧紧扣住原函数的定义，逆用求导公式，实现认知结构的理顺．由于逆运算概念学生并不陌生，因此教学中要充分利用思维定势的积极因素并引入教学．另外，本节切勿提高教学难度，因为随着后续学习的深入，积分方法多，无需直接用定义求不定积分．
3．本节教学要始终抓住一条主线：“求导数与求原函数或不定积分(在不计所加任意常数时)互为逆运算”．强调求不定积分时，不要漏写任意常数C；另外，要向学生说明：求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但结果的导数应相等．指出这点是有益的，一方面使学生会检查得到的不定积分是否正确，另一方面消除学生由于所得不定积分形式的不同而产生的疑问．
4．根据本节知识的抽象性，教学中应充分安排学生进行观察、联想、类比、讨论等课堂活动，使之参与到概念的发现过程，体会知识的形成过程．本着这一原则，本节课宜采用引导发现法进行教学．
教学过程
1．创设情境，引入新课 (1)引例(见解本章头)．
用多媒体显示引例图象，提出问题，激起学生求知欲望，揭示并板书课题． (2)介绍微积分产生的时代背景，弘扬科学的学习态度和钻研精神． 2．尝试探索，建立新知
(1)提出问题：已知某个函数的导数，如何求这个函数？ (2)尝试练习：求满足下列条件的函数F(x)． ①F′(x)＝3x2 ②F′(x)＝x3
(3)解决问题：上述练习是完成与求导数相反的逆运算．因此，解决问题的方法仍为求导数．
(4)形成定义：详见课本“原函数”的定义． 对于原函数的定义，教师应强调下列三点：
第一，F(x)与f(x)是定义在同一区间I上，这里的区间I可以是闭区间或半闭区间或开区间．
第二，F(x)是f(x)的一个原函数，不是所有的原函数．
第三，求原函数(在不计所加常数C的情况下)与求导数互为逆运算． (5)简单应用：
例1 求下列函数的一个原函数． ①f(x)＝3x2 ②f(x)＝x3
小结解法：根据定义，求函数f(x)的原函数，就是要求一个函数F(x)，使它的导数F′(x)等于f(x)．
(6)讨论问题：已知函数f(x)的一个原函数F(x)，那么函数f(x)是否还有其他原函数？举例说明．(略) (7)归纳性质：
一般地，原函数有下面的性质：
设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，对于任意常数C，F(x)＋C也是f(x)的原函数，并且f(x)在区间I上任何一个原函数都可以表示成F(x)＋C的形式．
教师强调：一个函数虽然有无穷多个原函数，但是我们只要求出其中的一个就行，其他的原函数都可以由这个原函数再加上一个常数得到．这样就给出了求已知函数的所有原函数的方法．
3．类比分析，拓广知识
根据原函数的性质，类比引入不定积分的概念．
(1)讲解不定积分的有关概念：不定积分、积分号、被积函数、积分变量、被积式、积分常数等(详见课本)．
对于不定积分的定义，教师说明如下：
第一，函数f(x)的不定积分f(x)dx等于函数f(x)的所有原函数F(x)
＋C．常数C不要漏写，F(x)只能表示一个原函数，这也正是原函数和
不定积分的区别；不定积分记号f(x)dx由积分记号“”和被积式
“f(x)dx”构成，书写时不要漏掉dx．
第二，在不定积分f(x)dx中，积分变量是x；在不定积分uxdx中，积分变量是x，被积分函数u是关于x的指数函数；在udu中，xx
积分变量是u，被积函数ux是关于u的幂函数．
(2)推导不定积分的性质．
性质1：(f(x)dx)＝f(x)
证明：设函数f(x)的一个原函数为F(x)，即F′(x)＝f(x)．
由不定积分的定义得f(x)dx＝F(x)＋C．∴( f(x)dx)′＝(F(x)＋C)′＝F′(x)＝f(x) ∴(f(x)dx)′＝f(x)性质2：F′(x)dx＝F(x)＋C
证明(略) 上述两个性质表明：求导数与求不定积分(在不计所加的任意常数时)互为逆运算．因此，求不定积分时，常常利用导数与不定积分的这种互逆关系，验证所求的不定积分是否正确．
4．例题评价，反馈训练
例2 如果在区间(a，b)内，恒有f′(x)＝g′(x)，则一定有
[B]
A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＋C C．[f(x)dx]＝[g(x)dx]
D．f(x)＝Cg(x) 例3 求下列不定积分．
(1)xdx(2)cosxdx
小结解法：
(1)求不定积分时，都要在结果上写上任意常数C．本章凡是没有特别说明时，所加的C均表示任意常数．
(2)求一个函数的不定积分，由于方法不同，它的结果在形式上往往也不同．这种形式上不同的结果，可以用求它们的导数的方法，看其导数是否相同，如果导数相同，就说明结果是正确的．
课堂练习：教科书练习第
1、
3、4题．
例4 已知f(x)是二次函数，且f(x)dx＝2x3－x2＋9x＋C，求f(x)
的解析式．
解：由不定积分的性质得
f(x)＝(2x3－x2＋9x＋C)′＝6x2－2x＋9 5．归纳总结，巩固提高
(1)一条主线：求导数与求不定积分(在不计所加任意常数时)互为逆运算． (2)二组概念：原函数的定义和性质，不定积分的定义和性质．
(3)三个注意：一是注意一个函数的原函数有无穷多个，它们之间仅相差一个常数；二是注意求不定积分时，不要漏写任意常数C；三是注意求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但其结果的导数应相等．
布置作业
1．课本习题4．1第
3、4题．
2．设函数y＝f(x)的图象为a，且在曲线a上任一点M(x，y)处的切线的斜率k(x)＝x3＋1，并且曲线过点P(1，2)，求函数y＝f(x)的解析式．
13(答案：f(x)＝x4＋x＋．)
443．已知函数f(x)＝(2ax＋b)dx，且f(0)＝f(2)＝0，方程f(x)＝x
有两个相等实根．
(1)求f(x)的解析式．
(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]．
1(答案：(1) f(x)＝－x2＋x；(2)存在m＝－2， n＝0．)
