教学大纲
课程名称：《微积分》2005.6 英文名称：Calculus
课程编号：00000
1学时数及学分：共80学时(第一学期4×14=54学时；第二学期2×13=26学时) 教材名称：《微积分》赵树嫄主编 中国人民大学出版社 1988.6 本大纲主笔人：薛长虹
一． 课程的目的、要求和任务：
1.使学生认识和理解数学中的微分极限思想，培养逻辑思维方式，学习分析问题解决问题的能力。
2.使学生在循序渐近地在学习掌握微积分知识的过程中，逐步养成良好的数学素养，进而对经济领域的各类问题有科学的分析与认知。
3.使学生达到具有一定的微积分知识基础，会用所学的数学原理和计算方法去解决本专业领域的实际问题。
二． 大纲的基本内容及学时分配：
（一） 函数
[内容提要]
1.预备知识实数及其几何表示；实数的绝对值，绝对值的基本性质，绝对值不等式；；区间与邻域的概念。
2.函数概念常量与变量；函数的定义与表示法，函数的定义域的求法及经济应用。
3.函数的几何特征单调性，有界性，奇偶性，周期性。
4.反函数反函数的定义及其图象的性质。
5.复合函数的定义
6.初等函数基本初等函数的定义，定义域，值域及其图形。初等函数的定义。
7.分段函数分段函数的概念及其图形特征。
8.建立函数关系的例子经济变量间的数量关系-经济函数。总成本函数，总收入函数，总利润函数，需求函数，供求函数等。
[要求与说明]
1.理解实数与实数绝对值的概念，掌握解简单绝对值不等式的方法。
2.理解函数，函数的定义域和值域等概念，熟悉函数的表示法。
3.了解函数的几何特征并掌握各几何特性的图形特征。
4.了解反函数的概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数。
5.理解复合函数的概念；了解两个或多个函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。
6.理解基本初等函数及其定义域，值域等概念，掌握基本初等函数的基本性质。
7.理解初等函数的概念；了解分段函数的概念。
8.会建立简单应用问题的函数关系。
9.本章内容带有复习性质，凡中学已经学习过的有关函数的知识，只需加以复习提高，不必再作详细讲解。
（二） 极限与连续
[内容提要]
1.数列的极限数列的概念，数列极限的定义与几何意义，数列极限的
唯一性及收敛数列的有界性。
2.函数的极限xx0时，函数f(x)的极限；x→∞时,函数f(x)的极限；
函数极限的几何解释；单边极限（左，右极限，x→+∞或x→-∞时，函数f(x)的极限。
无穷小量与无穷大量无穷小量的定义与基本性质，无穷小量的比较；无穷大量的定义；无穷小量与无穷大量的关系。
极限的四则运算。
极限的基本性质唯一性，有界性，保号性，极限不等式等，
极限的存在性定理夹逼性定理，单调有界数列的极限存在性定理，
sinx
x1,limx(11)e 3.4.5.6.7.两个重要极限limx0
8.函数的连续性函数的改变量，函数的连续性，左连续与右连续；函
数连续与极限的关系。
9.函数的间断点及其分类。
10.连续函数的和，差，积，商的连续性；反函数与复合函数的连续性；初
等函数的连续性，分段函数的连续性。
11.闭区间上连续函数的基本定理有界性定理，最值定理，介值定理。
[要求与说明]
1.了解数列与函数极限的概念。关于数列与函数极限的分析定义不作要求。
2.了解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量比较的方法；了解无穷
大量的概念；知道无穷小量与无穷大量的关系。
3.知道两个极限存在定理，并能用于求一些简单极限的值.单调有界数列的
极限存在性定理不证明。
4.熟练掌握两个重要的极限。两个重要极限的证明不作要求。
5.了解函数连续性的概念，函数间断的概念；掌握函数间断点的分类；掌
握讨论简单分段函数连续性的方法。
6.了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。
7.了解闭区间上连续函数的基本定理。
8.掌握求极限的基本方法；利用极限运算法则，无穷小的性质，两个重要
极限以及函数的连续性等求极限的值。
（三） 导数与微分
[内容提要]
1.导数概念变速直线运动的速度，平面曲线的切线斜率，导数的定义与
几何意义及应用，可导与连续的关系。
2.基本初等函数的导数公式。
3.导数的四则运算。
4.反函数与复合函数的导数公式，隐函数的求导法；对数求导法。
5.高阶导数的概念与求法。
6.微分微分的定义与几何意义；可导与可微的关系；微分法则与微分基
本公式；微分形式的不变性。
7.导数与微分的简单应用边际与弹性概念。
[要求与说明]
8.了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的
关系。
9.熟练掌握基本初等函数的导数公式，
10.熟练掌握导数的四则运算公式。
11.熟练反函数的导数公式（证明不作要求）。
12.熟练掌握复合函数的链式求导法则（证明不作要求）。
13.掌握对数求导法与隐函数求导法。
14.了解高阶导数的概念，掌握求二阶，三阶导数及某些简单函数的n阶导
数的方法。
15.了解微分的概念；掌握可导与微分的关系，以及微分形式的不变性；熟
练掌握求可微函数微分的方法。
16.知道边际与弹性的关系，会求解简单的经济应用题。
（四） 中值定理与导数的应用
1.中值定理罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理。
2.罗必塔法则与各种未定式的定值方法。
3.函数单调性的判别法。
4.函数的极值与最值函数极值的定义，函数极值的必要条件与充分条
件，函数最值的概念，求函数最值的基本步骤。
5.曲线的凹凸性，拐点与渐进线曲线凹凸性与拐点的判别法，凹凸区
间与拐点的求法。曲线渐进线的定义与求法。
6.函数作图的基本步骤与方法。
7.经济应用举例：最大利润，最小成本等。
[要求与说明]
1.能叙述罗尔定理，拉格朗日定理和柯西定理，知道这些定理之间的关系，
会利用这些定理证明一些简单的证明题（如证明不等式）。有关这些定理的证明不作要求。
2.熟练掌握罗必塔法则和各种未定式的定值方法。只证明型未定式的罗必
塔法则，型未定式的罗必塔法则的证明不作要求。注意罗必塔法则适用的条件。
3.熟练掌握函数单调性的判别方法。
4.熟练掌握求函数极值与最值的方法。了解函数极值与最值的关系与区别，
会求解某些简单经济应用问题。
5.熟练掌握曲线凹凸性判别方法；熟练掌握求曲线拐点与渐进线的方法。
6.熟练掌握函数作图的基本步骤和方法；会作某些简单函数的图形。
（五） 不定积分
[内容提要]
1.不定积分的概念原函数的概念。不定积分的定义与几何意义。不定
积分的基本性质。
2.基本积分表。
3.换元积分法第一换元积分法，第二换元积分法。
4.分部积分法。
[要求与说明]
1.了解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质。
2.熟悉基本积分表。
3.熟练掌握计算不定积分的两种换元积分法和分部积分法。
（六） 定积分
[内容提要]
1.定积分的概念与性质曲边梯形的面积，定积分的定义与几何意义。
定积分的性质。积分中值定理。
2.微积分基本定理变上限积分。原函数存在性定理。变上限积分的求
导方法。牛顿——莱布尼兹公式。
3.定积分的计算定积分的第一与第二换元法。定积分的分部积分法。
4.定积分的应用平面图形的面积，立体的体积，简单的经济应用。
5.广义积分初步无穷积分的概念，无穷积分收敛与发散的定义，无穷
积分的计算，瑕积分的概念，瑕积分收敛与发散的定义，瑕积分的计算。广义积分
11xpdx与1p0x1dx的敛散性判别。
[要求与说明]
1.了解定积分的概念和基本性质，掌握积分中值定理。
2.熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式。会求变上限积分的导数。
3.熟练掌握计算定积分的换元积分公式和分部积分公式。注意不定积分与
定积分换元积分公式之间的相似性与区别。
4.会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。会利用定积分求解
一些简单的经济应用题。
5.了解广义积分收敛与发散的概念。掌握计算收敛广义积分的方法。知道广义积分
11xpdx与1px01dx的收敛条件。
（七） 无穷级数
[内容提要]
1.无穷级数的概念与性质无穷级数及其一般项与部分和的概念；无穷
级数收敛与发散的定义；收敛级数和的概念；几何级数与调和级数的敛散性；无穷级数收敛的必要条件；收敛级数的基本性质。
2.正项级数正项级数的概念；正项级数收敛的充分必要条件；正项级
数敛散性的比较判别法，达朗贝尔比值判别法；p级数的敛散性。
3.任意项级数交错级数的概念；交错级数敛散性的莱布尼兹判别法。任
意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。绝对收敛与条件收敛的判别法。
[要求与说明]
1.了解无穷级数及其一般项，部分和，收敛与发散，以及收敛级数的和等
基本概念。
2.掌握几何级数与p级数的敛散性判别条件；知道调和级数的敛散性。
3.掌握级数收敛的必要条件，以及收敛级数的基本性质。
4.掌握正项级数的比较判别法；熟练掌握正项级数的达朗贝尔比值判别法。
5.掌握交错级数的莱布尼兹判别法。
（八） 多元函数微积分学
[内容提要]
1.预备知识空间直角坐标系，空间两点间的距离，空间曲面与曲面方
程。平面上的区域，区域的边界，点的邻域，开区域与闭区域等概念。
2.多元函数的概念多元函数的定义。二元函数的定义域与几何意义。二
元函数的极限与连续性。
3.偏导数与全微分偏导数的定义与计算方法。全微分的定义与计算方
法。
4.多元复合函数微分法与隐函数微分法。
5.高阶偏导数的定义与求法。
6.多元函数的极值与最值二元函数极值的定义，极值的必要条件与充
分条件。条件极值的概念与拉格朗日乘子法。多元函数最值的概念与求法。
7.二重积分曲顶柱体的体积，二重积分的定义与基本性质。二重积分
的计算；在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分。
[要求与说明]
1.了空间直角坐标系的有关概念，会求空间两点的距离。
2.了解平面区域，区域的边界，点的邻域，开区域与闭区域等概念。
3.知道二元函数的极限与连续性的概念。
4.理解多元函数的偏导数与全微分的概念，熟练掌握求偏导数与全微分的
方法，掌握多元复合函数偏导数的方法。
5.掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数的方法（例如由确定
F(x,y,z)0的隐函数zf(x,y)，求其偏导数）
6.了解二元函数极值与条件极值的概念。掌握用二元函数极值存在的必要
条件和充分条件求二元函数极值的方法；掌握用拉格朗日乘子法求解简单二元函数条件极值问题的方法。
7.了解二重积分的概念，几何意义与基本性质。掌握在直角坐标系与极坐
标系下计算二重积分的常用方法，会计算一些简单的二重积分。
（九） 微分方程
[内容提要]
1.微分方程的基本概念微分方程的定义，微分方程的阶，解（通解，特解），
定解条件和初值问题等基本概念。
2.一阶微分方程可分离变量的方程，齐次方程，一阶线性微分方程。伯努
利方程。
3.二阶微分方程的几种简单形式，例如最简单的二阶微分方程y\'\'f(x)。不显
含未知函数y\'\'f(x,y\')的二阶微分方程。不显含自变量的二阶微分方程y\'\'f(y,y\')等。
4.二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性齐次微分方程的特征根解法，
二阶常系数线性非齐次微分方程y\'\'py\'qyf(x) 当f(x)erx,f(x)pm(x),，其中pm(x)是x的m次多项式时的解法。
5.微分方程在经济学中的简单应用。
[要求与说明]
1，了解微分方程的阶，通解与特解的概念。
2，掌握可分离变量方程，齐次方程和一阶线性微分方程的解法。
3，知道几种具有简单形式的二阶微分方程
y\'\'f(x),y\'\'f(x,y\'),y\'\'f(y,y\')的降阶法。
4，熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征根解法；掌握自由项为多项式pm(x),erx的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
会求解一些简单的经济应用题。
三． 与其他课程的关系： 是经济类专业及专业基础课的必备前期基础课程。
四． 教学方式：多媒体电子课件与手书教学结合的面授教学方式。
五． 考核方式：期末闭卷考试，占总成绩的50%，平时作业、课堂讨论、考勤占总成绩的50%。
六． 参考书目：《高等数学》同济大学出版社
