1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：
Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。
目录
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);
(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
由以上简化，有一个简单结论，中学常用
2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
编辑本段均值不等式的变形
(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a²+b²>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b
(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负实数a,b，有a²+b²≥2ab≥0
(6)对实数a,b，有a²+b²;≥1/2*(a+b²)≥2ab
(7)对实数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c²;
(8)对实数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥3/4*(a+b)²;
(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
编辑本段均值不等式的证明
均值不等式
方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则(A+B)^n≥A^n+nA^(n－1)B。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
原题等价于：((a1+a2+„+an )/n)^n≥a1a2„an。
当n=2时易证；
假设当n=k时命题成立，即
((a1+a2+„+ak )/k)^k≥a1a2„ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2 ，„，a(k+1)中最大者，则
k a(k+1)≥a1+a2+„+ak。
设s=a1+a2+„+ak，
{[a1+a2+„+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)
={s/k+[k a(k+1)－s]/[k(k+1)]}^(k+1)
≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)－s]/k(k+1) 用引理=(s/k)^k* a(k+1)
≥a1a2„a(k+1)。用归纳假设
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，
ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）
编辑本段均值不等式的应用
例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3所以，2√x≥3-1/x例二 长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p周长最小值为4√p例三 长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16面积最大值是p^2/16
编辑本段其他不等式
琴生不等式
绝对值不等式权方和不等式赫尔德不等式闵可夫斯基不等式贝努利不等式柯西不等式切比雪夫不等式外森比克不等式排序不等式
编辑本段重要不等式
1.柯西不等式
柯西不等式的一般证法有以下几种：
（1）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2几何平均（0次幂），二次平均（2次幂）
