均值不等式
a2b21.(1)若a,bR,则ab2ab(2)若a,bR,则abab时取“=”)
2ab*2.(1)若a,bR*,则) ab(2)若a,bR,则ab2ab(当且仅当ab时取“=”222
22abab(3)若a,bR,则ab(当且仅当ab时取“=”) 22*2
3.若x0,则x112 (当且仅当x1时取“=”);若x0,则x2 (当且仅当x1时取“=”) xx
若x0,则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”) xxx
4.若ab0,则ab2(当且仅当ab时取“=”) ba
若ab0,则ababab) 2即2或-2(当且仅当ab时取“=”bababa
ab2a2b25.若a,bR,则((当且仅当ab时取“=”) )22
注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的
积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值
例1:求下列函数的值域
11(1)y=3x 2+(2)y=x 2xx
1解:(1)y=3x 2+≥22x13x 2=6∴值域为[6 ,+∞) 2x
x·=2; x
x· =-2 x1(2)当x>0时,y=x+≥2x11当x<0时, y=x+= -(- x- )≤-2xx
∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)
例:求函数y12x
解题技巧:
技巧一:凑项
例1:已知x3x0 的最值 x5,求函数y4x21的最大值。 44x
51不是常数,所以对4x2要进行拆、凑项, 4x5解:因4x50,所以首先要“调整”符号,又(4x2)
511x,54x0,y4x254x3231 44x554x
当且仅当54x1,即x1时,上式等号成立,故当x1时,ymax1。 54x
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例1.当时,求yx(82x)的最大值。
解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值,故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。
当,即x=2时取等号当x=2时,yx(82x)的最大值为8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:设0x
,求函数y4x(32x)的最大值。
232x32x9解:∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2 222
当且仅当2x32x,即x
33
0,时等号成立。 42
1
的最大值 5
例2:求函数yx15x0x
2xx2x54252解:yx15xxx2x
235267
5
技巧三: 分离
x27x10
(x1)的值域。 例3.求y
x
1解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。
59(当且仅当x=1时取“=”号)。 2sin2x1
例:设x0, ,则函数y 的最小值。
sin2x2
当
,即
时
,y2sin2x12sin2x13sin2x
cos2x3tan2131
tanx解y
sin2x2sinxcosx2sinxcosx2tanx2
31
,当且x0,,tanx0 利用均值不等式可知ytanx
222tanx
仅当tanx
时成立 技巧四:换元
上述例
3解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。
(t1)27(t1)+10t25t44y=t5
ttt
当,即t=时
,y59(当t=2即x=1时取“=”号)。
评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最
A
g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 B(A0,B0),
g(x)
a
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数f(x)x的单调性。
x
值。即化为ymg(x)例:求函数y
t(t
2),则y
t(t2)
t因t0,t1,但t解得t1不在区间2,,故等号不成立,考虑单调性。 因为yt在区间1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故y所以,所求函数的值域为,。
练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.t1t
1t5。 2
52
11x23x1
,x(0,),x3(3)y2sinx,(x0) (2)y2x(1)y
sinxx3x
2.已知0x
1,求函数y条件求最值
ab
1.若实数满足ab2,则33的最小值是a
b
的最大值.;3.0x
,求函数y3
.
分析:“和”到“积”是一个缩小的过程,而且33定值,因此考虑利用均值定理求最小值,解: 3和3都是正数,3
3≥6
ababab
当33时等号成立,由ab2及33得ab1即当ab1时,33的最小值是6.
abab
11
变式:1.若log4xlog4y2,求的最小值.并求x,y的值
xy
2.已知x3y20 ,则3271 的最小值
技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。 2:已知x0,y0,且
x
y
19
1,求xy的最小值。 xy
错解:..
1919x0,y0,且1,xyxy12故 xymin12 。
xyxy
错因:解法中两次连用均值不等式,在xyx
y,在19x
y
条件是
19
即y9x,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出xy
等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解:
19y9x19
x0,y0,1,xyxy1061016
xyxyxy
当且仅当
19y9x
时,上式等号成立,又1,可得x4,y12时,xymin16 。
xyxy
变式: (1)若x,yR且2x
y1,求11的最小值
x
y
(2)若a0,b0,ab2, 求y
(3)若x,yR且x2y
1
4 的最小值ab
x
y
1,求11的最小值
(易错,忽略等号成立时的条件的一致性,两次去等号分别为xy,x2y )
(4)已知a,b,x,yR且ab1,求x
xy
y的最小值
y 2
技巧
七、已知x,y为正实数,且x+=1,求1+y的最大值.
2a 2+b
2分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤ 。
2
1同时还应化简1+y中y前面的系数为 ,x1+y=x
1+y2·=2 x·
21y +22
下面将x,
+ 分别看成两个因式: 22
1y21 2y+)x++2222
3= =即x1+y=2 ·x
22
4x·
x+(
+ ≤22
+ ≤2224
技巧八:已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数yab的最小值.分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径
一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。
30-2b30-2b-2 b 2+30b
法一:a=,ab= ·b=
b+1b+1b+1由a>0得,0<b<1
5-2t 2+34t-311616
令t=b+1,1<t<16,ab==-2(t+)+34∵t+≥2
ttt∴ ab≤18∴ y≥
当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。 18
16
t·=8
t
法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥22 ab∴ 30-ab≥22 ab
令u=ab则u+
22 u-30≤0, -52 ≤u≤32
∴ab≤32 ,ab≤18,∴y≥18点评:①本题考查不等式
ab
a,bR)的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等
2式aba2b30出发求得ab的范围,关键是寻找到ab与ab之间的关系,由此想到不等(a,bR)式
ab
a,bR),这样将已知条件转换为含ab的不等式,进而解得ab的范围.2
变式:1.已知a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求a+b的最小值。
2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。
3.已知a>0,b>0,a2b2ab8 ,求x2y 的最小值
4.若实数a、b满足ab4ab0a1,则a1b2技巧
九、取平方
5、已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W3x 2y 的最值.a+ba 2+b
2解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,≤,本题很简单
22
3x +2y≤2
(3x )2+(2y )2 =2
3x+2y =2
5解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和
为定值”条件靠拢。
W>0,W2=3x+2y+23x 2y =10+23x 2
y ≤10+
(3x )2·(2y )2 =10+(3x+2y)=20
∴ W≤20 =2
5变式:
求函数y1x5)的最大值。
解析:注意到2x1与52x的和为定值。
y2244(2x
1)(52x)8
又y0,所以0y当且仅当2x1=52x,即x
时取等号。故ymax。 2
评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。
总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。 应用二:利用均值不等式证明不等式
1.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a
b2c2abbcca
1111118 abc
1)正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 例6:已知a、b、cR,且abc1。求证:
分析:不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“
2”连乘,又11abc 1aaa解:a、b、cR,abc1。
1111abc1
,11
baaac上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
1111abc。当且仅当时取等号。 11183abc
应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知x0,y0且
19
1,求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。 xy
19xy9x9y10y9x1,1.1 xykxkykkxky
解:令xyk,x0,y0,
1
103
2 。k16 ,m,16kk
lgalgb,Q
1ab
(lgalgb),Rlg(),则P,Q,R的大小关系是22
应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若ab1,P
分析:∵ab1 ∴lga0,lgb0
Q
(lgalgb)lgalgbp 2
ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。
22