特殊平行四边形之证明题
题型一:菱形的证明
1.已知:如图,在ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.
(1)求证:BEDG;
(2)若B60°,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形ABFG是菱形?证明你的结论.
2.如图,△ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O,CE∥AB交MN于E,连结AE、CD.
(1)求证:AD=CE;
(2)填空:四边形ADCE的形状是.
A
DD B EF C M
N
B C
3、如图,已知:在四边形ABFC中,ACB=90,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE
(1) 试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;
(2) 当A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.(特别提醒:表示角最好用数字
)
题型二:正方形的证明题
1、四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.
(1)求证:AE=CG;
(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,
想.
并证明你的猜
2、如图8-1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.(1) 求证:BP=DP;
(2) 如图8-2,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明;
(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连结,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论 .
3.如图①,四边形ABCD是正方形, 点G是BC
上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F.
(1) 求证:DE-BF = EF.
(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF图8-1 图8-
2与GF之间的数量关系, 并说明理由.
(3) 若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).
题型五:矩形的证明题
4.如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内. 求证:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;(2)PA=PQ.
A
Q
B
D C
5、如图,在△ABC 中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
题型六:综合证明题
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠B =60°,BC=2.点0是AC的中点,过点0的直线l从与AC重合的位置开始,绕点0作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为_________;
②当α=________度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为_________;
(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.
6.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线
MN∥BC,设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平
分线于点F.
(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;
(2)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,
请证明,若不是,则说明理由;
(3)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
B
N C D
.对角线AC,BD相交于点O,
7、如图15,平行四边形ABCD中,ABAC,AB
1,BC
将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
(1)证明:当旋转角为90时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数. F
D C