四边形的证明题

发布时间：2020-03-02 10:40:23 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

四边形的证明题

1．如图,在矩形ABCD中,点O是边AD上的中点,点E是边BC上的一个动点,延长EO到F,使得OE=OF.F

BEC

（1）当点E运动到什么位置时,四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）

（2）若矩形ABCD的周长为20,四边形AEDF的面积是否存在最大值？如果存在,请求出最大值;如果不存在,请说明理由．

（3）若AB=m,BC=n,当m.n满足什么条件时,四边形AEDF能成为一个矩形？（不必说明理由）

【答案】（1）当点E运动到BC的中点时,四边形AEDF是菱形;

（2）存在.当x5时,四边形AEDF的面积最大为25;

（3）当m≤1n时,四边形AEDF能成为一个矩形．

2【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质得出AB=CD,∠B=∠C=90°,求出四边形是平行四边形,根据勾股定理求出AE=DE,即可得出答案;

（2）求出S四边形AEDF=2S△AED=S矩形ABCD,设AB=x,则BC=10﹣x,四边形AEDF的面积为y,求出y=x（10﹣x）,求出二次函数的最值即可;

（3）根据矩形能推出△BAE∽△CED,得出比例式,代入得出方程,求出方程的判别式,即可得出答案．试题解析：（1）当点E运动到BC的中点时,四边形AEDF是菱形,

理由是：∵四边形ABCD是矩形,

∴AB=CD,∠B=∠C=90°,

∵E为BC中点,

∴BE=CE,

由勾股定理得：AE=DE,

∵点O是边AD上的中点,OE=OF,

∴四边形AEDF是平行四边形,

∴平行四边形AEDF是菱形;

（2）存在.∵点O是AD的中点,

∴AO=DO ,

∵OE=OF,

∴四边形AEDF是平行四边形 ,

∴S四边形AEDF2SAEDS矩形ABCD ,

设AB=x,则BC=10x,四边形AEDF的面积为y,

yx(10x)

x210x

(x5)22

5当x5时,四边形AEDF的面积最大为25;

（3）当m≤1n时,四边形AEDF能成为一个矩形, 2

理由是：设BE=z,则CE=n﹣z,

当四边形AEDF是矩形时,∠AED=90°,

∵∠B=∠C=90°,

∴∠BAE+∠BEA=90°,∠BEA+∠DEC=90°,

∴∠BAE=∠DEC,

∴△BAE∽△CED, ABBE, CECD

mz, ∴nzm∴

∴z﹣nz+m=0,

22当判别式△=（﹣n）﹣4m≥0时,方程有根,即四边形AEDF是矩形, 解得：m≤

∴当m≤221n, 21n时,四边形AEDF能成为一个矩形． 2

考点：四边形综合题．

2．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是菱形；

（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE的形状是什么？说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）矩形，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质求出OA=OD，证出四边形AODE是平行四边形即可；（2）根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形AODE是平行四边形即可.

试题解析：（1）∵矩形ABCD的对角线相交于点O，

∴AC＝BD（矩形对角线相等），OA＝OC＝11AC，OB＝OD＝BD（矩形对角线互相平分）.∴OA＝OD .22

∵DE∥CA ，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.∴四边形AODE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

（2）矩形，理由如下：

∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形.

∵菱形ABCD，∴AC⊥BD.∴∠AOD=90°.

∴平行四边形AODE是矩形．

考点：1.矩形的判定和性质；2.平行四边形的判定；3.菱形的判定和性质.

3．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．

①求证：BD⊥CF；

②当AB=4，

FG的长．

【答案】(1) BD=CF成立,证明见解析；（2）①证明见解析；②FG=.5

【解析】

试题分析：(1)证明线段相等的常用方法是三角形的全等，直观上判断BD=CF,而由题目条件，旋转过程中出

现了两个三角形△BAD和△CAF，并且包含了要证明相等的两条线段BD和CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，只差夹角相等，在Rt△BAC中，∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAF, ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.（2）①要证明BD⊥CF，只要证明∠BGC=90°，即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt△BAC中，∠ABC+

∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有（1）知，∠ACF=∠ABG，所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+

∠ABG +∠ACB =90°，所以BD⊥CF.②求线段的方法一般是三角形的全等和勾股定理，题目中没有和FG直接相关的线段，而CG从已知条件中又无法求出，所以需要作辅助线，连接FD，交AC于点N, 在正方形ADEF中，

, AN=1, CN=3, 由勾股定理CF=，设FG=x，CG=x，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=4x2，∵在Rt△BCG中，CGBGBC， ∴(x)2(4x2)2(42)2，解之得FG=

试题解析：②解法一：

如图，连接FD，交AC于点N,

222.5

∵在正方形ADEF中，

, 1AE=1，FD=2, 2

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC-AN=3， ∴AN=FN=

∴在Rt△FCN中，CFFN2CN2232,

∵△BAD≌△CAF（已证），∴BD=CF=,

设FG=x，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=4x2, ∵CF=，∴CG=x,