一道几何证明题的探究

一道几何证明题的探究

在很多人眼里，数学的学习首先是识记一些知识点，其次更重要的是要做大量的题，见很多不同的题，这样才能真正把数学学好。但是在茫茫题海中很多学生却找不到了方向，这又是为什么呢？其实上面这种题海的学习方法并不完全正确，做题固然重要，但是知识点也同等重要，做题只是一个手段，是为了更好的掌握所学的知识点，更重要的是通过一道题你真正从当中学会什么知识，学会什么解题方法等等，换句话说题不一定要做多，关键是要做得“精”，每做一道题就要从当中去“挖”你所需要的东西，之后再和你所学的知识点进行联系对比学习，这样两者结合才是学好数学的最佳办法，比如我们从下面一道题来讲解。

例.如图：在ABC中，B2C.A

求证：AC2AB

分析：这道题的已知条件是给出一个三角

形和一个等式，要证明的却是一个不等

C式，从所学过的三角形知识入手，联系已B

知条件和结果的重要定理为：三角形两边

之和大于第三边，故应该把AC（或者是和AC相等的线段）和AB（或者是和AB相等的线段）放在同一个三角形里边，这道题的关键就是如何构造含AC和AB的三角形。

证法一：（割补法中“补边”的思想）

延长线段CB到点D，使得BDAB

BDBA

ADBAD

又ABCDBAD

ABC2D

又ABC2C

DBCD

ACAD

在ABD中，ADABDB2AB

AC2AB

这种证法是把AB和与AC相等的线段AD放在同一个三角形里，欲证明结论只需要证明BDBA，通过唯一的一个条件B2C可以证明到ABD为等腰三角形，再利用三角形的不等式性质可以轻松进行证明。

证法二：（割补法中“割边”的思想） A

作AD交BC于点D，使ABAD

BADB

ADBCDAC,

BCDAC

B又 B2C DC

1 C

CDACADDC又ABAD

ABADDC在ADC中，ACADDC

AC2AB

这种证明方法是通过把AC2AB中的2AB化为ADDC，与证法一类似还是通过构造等腰三角形和三角形的两边之和大于第三边来证明结论。

证法三：（割补法中“补角”的思想）

以C为顶点作BCDACB其中CD与AB的延长线角于点DABC2ACB,ACBBCDBCD为等腰三角形；故BDBC,2BCCDAA;ABCACDABC∽ACD

AB

ACCD2

AC2AB

BC

1

B

C

A

D

这种证法与证法一相对应，证法一是通过补边得到等腰三角形，这里是 通过补角构造等腰三角形来进行证明。证法四：（割补法中“割角”的思想）

A作ABC的角平分线BD交AC于点D

易证：ABD∽ACB

ABAC

BDCB

AB

ACBDBC

C

又ABC2C

B

BCD为等腰三角形BDDC

又BC2BD(三角形两边之和大于第三边）AB

ACBDBC



ACBD2BD

AC2

AC2AB

这种证明方法与证法二相对应，证法二是通过割边，这里是通过割角来构造等腰三角形，利用三角形相似来得到AC和2AB的大小关系。

证法五：作ABC的外接圆⊙o

作AC的中垂线OD交⊙o于点D则AD=DC

又 B2C

ADC=2AB

B

ABADDC

在ADC中，ADDCACAC2AB

这种证明方法是通过三角形外接圆的性质构造等腰三角形来进行证明。

证法六：由正弦定理得：则

ABsinC



ACsin2C



AC2sinCcosC

A

AB

AC2cosC

又 0cosC1





ABAC



12cosC



12

B

C

即AC2AB

（附：正弦定理：

ABsinC

ACsinB

BCsinA

2R

，R为ABC外接圆半径）

很多人一看这道题还以为只是在讲一题多解的问题，其实并不是这样，因为当中蕴含着很多的东西。通过这道题我们可以想到一些问题：（1）一道几何题，甚至可以说是一道数学题，往往都可以一题多解。（2）通过一题多解可以培养学生不断思考的能力，有利于学生思维的培养。（3）正是由于一题多解就导致其中会涉及到很多内容，很多知识点，很多学生在做了题过后根本就不知道做题是为了什么？他有没有学到东西？其实做题只是一个手段，是为了通过题来更好地掌握知识，把所学的知识点，方法学会。这道题看似很简单，其实把每种解法看了过后，你就会发现里面几乎涉及了所有初中几何方面的知识，比如：辅助线的作法，角平分线定理，正弦定理，圆的知识等等。也就是说每做一道题我们都应该教学生如何去思考，往深处想，往广处想，看似越简单的题里面蕴含的知识，方法就越多，不要做完题就“走人”，这样是达不到学习效果的，如果长期以这种态度做题，即使你做再多的题也是没有效果的。

从一道几何证明题谈面积法

一道初中几何证明题的三种解法

几何证明题

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初一几何证明题

初二几何证明题

初二几何证明题

初一几何证明题

几何证明题训练

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