1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．
2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE的面积； （2）求证：BD=EF+CE．
4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且EF∥CA，交CD于点F，连接OF． （1）求证：OF∥BC；
（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
．过点E
5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6． （1）求线段CD的长；
（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．
6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；
（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．
7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E． （1）求证：AE=ED；
（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．
8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F． （1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：DP平分∠ADC； （2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．
10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F； （1）证明：EF=EA；
（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．
11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF． （1）求证：EB=EF；
（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．
12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．
（1）求证：AE=GF；
（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．
13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．
（1）求证：FC=BE；
（2）若AD=DC=2，求AG的长．
14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF． （1）求证：AD=BE；
（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．
15、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC． （1）求证：AD=AE；
（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．
16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC． （1）求证：AE⊥BD；
（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．
17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AD=3，DC=4，求AE．
18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．
19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且（1）求证：BF=EF﹣ED； （2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．
．
20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF． （1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长． （2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．
21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC． （1）求证：DH=（AD+BC）； （2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．
22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD． （1）求证：△AGE≌△DAB；
（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．
23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF． （1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；
（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．
24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．
（1）证明：△ABE≌△DAF； （2）求∠BPF的度数．
25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD． （1）求∠ABC的度数；
（2）如果BC=8，求△DBF的面积？
26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．
（1）求证：△AGD为正三角形； （2）求EF的长度．
27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．
（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长． （2）求证：ED=BE+FC．
28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F． （1）求证：△BCE≌△AFE；
（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．
29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
求证：
（1）△BFC≌△DFC； （2）AD=DE；
（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．
30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E． （1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．
参考答案
1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．
证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点， ∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE， ∴△BAE≌△CDE， ∴BE=CE；
（2）延长CD和BE的延长线交于H，
∵BF⊥CD，∠HEC=90°，
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90° ∴∠EBF=∠ECH， 又∠BEC=∠CEH=90°， BE=CE（已证）， ∴△BEG≌△CEH，
∴EG=EH，BG=CH=DH+CD， ∵△BAE≌△CDE（已证）， ∴∠AEB=∠GED， ∠HED=∠AEB， ∴∠GED=∠HED， 又EG=EH（已证），ED=ED， ∴△GED≌△HED， ∴DG=DH， ∴BG=DG+CD．
2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
（1）证明：∵HE=HG， ∴∠HEG=∠HGE，
∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG， ∴∠BEH=∠FGC， ∵G是HC的中点， ∴HG=GC，
∴HE=GC，
∵∠HBE=∠CFG=90°． ∴△EBH≌△GFC；
（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°， ∴AD=DF，
∵DF=DC﹣FC， ∵△EBH≌△GFC， ∴FC=BH=1， ∴AD=4﹣1=3．
3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE的面积； （2）求证：BD=EF+CE．
（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE． （1）解：∵AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA， ∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB， ∴，
∵DC∥AB，AD=BC， ∴∠DAB=∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°， ∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°， ∵BE⊥AB， ∴∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°， 在Rt△BCE中，BE=2CE=2，
，
∴…（5分）
（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M， ∴四边形FDME是矩形，
∴FE=DM，
∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°， ∴△BME≌△ECB， ∴BM=CE，
∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）
4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且作EF∥CA，交CD于点F，连接OF． （1）求证：OF∥BC；
（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
．过点E
解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图）， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC， ∵EF∥CA，EG∥CA，
∴四边形ACEG是平行四边形， ∴AG=CE， 又∵∴，AD=BC，
，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠ECF， 在△CEF和△DGF中，
∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG， ∴△CEF≌△DGF（AAS）， ∴CF=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∴OF∥BE．
（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形． 证明：∵OF∥CE，EF∥CO， ∴四边形OCEF是平行四边形， ∴EF=OC，
又∵梯形OBEF是等腰梯形， ∴BO=EF， ∴OB=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO． ∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E（1）求线段CD的长；
，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．
（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC． （1）解：连接BD， 由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°， 又∵BF⊥CD， ∴∠DFE=90°
又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF， ∴△GAD≌△EFD， ∴DA=DF， 又∵BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL）， ∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF 又∵CF=6， ∴BC=，
又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠BDF=∠CBD， ∴CD=CB=8．
（2）证明：∵AD∥BC， ∴∠E=∠CBF， ∵∠HDF=∠E， ∴∠HDF=∠CBF，
由（1）得，∠ADB=∠CBD， ∴∠HDB=∠HBD， ∴HD=HB，
由（1）得CD=CB，
CBDCDBCBDHDFCDBCBH即BDH=HBDHB=HD∴△CDH≌△CBH， ∴∠DCH=∠BCH， ∴∠BCH=∠BCD=
=
．
6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；
（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图， 在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB=∴AC=10， ∴BC=8，
在Rt△CDM中，∠D=45°， ∴DM=CM=AB=6， ∴AD=6+8=14，
∴梯形ABCD的面积=•（8+14）•6=66（cm2）；
=，
（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，∵∠D=45°，
∴△DNG为等腰直角三角形， ∴DN=GN， 又∵AD∥BC， ∴∠BFH=∠FHN，
而∠EFH=∠FHG， ∴∠BFE=∠GHN， ∵EF=GH，
∴Rt△BEF≌Rt△NGH， ∴BE=GN，BF=HN，
∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．
7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=BC，求∠CAF的度数． （1）证明：如图．
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∵DF=CD， ∴AB∥DF． ∵DF=CD， ∴AB=DF．
∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AE=DE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形． ∴AC⊥BD． ∴∠COD=90°．
∵四边形ABDF是平行四边形， ∴AF∥BD．
∴∠CAF=∠COD=90°．
8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F． （1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
（1）证明：在△DAE和△DCE中，
∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），
ED=DE（公共边），
AE=CE（正方形的四条边长相等）， ∴△DAE≌△DCE （SAS），
∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；
（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）； 又∵CG=CE（已知），
∴∠G=∠CEG（等边对等角）； 而∠CEG=2∠EAC（外角定理）， ∠ECB=2∠CEG（外角定理）， ∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°， ∴∠G=∠CEG=30°；
过点C作CH⊥AG于点H， ∴∠FCH=30°，
∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2在直角△FCH中，CH=∴EG=2×CF=3CF． CF，
CH，
9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：DP平分∠ADC； （2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．
（1）证明：连接PC． ∵ABCD是正方形， ∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD． ∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF．（SAS） ∴∠BAE=∠DAF，AE=AF． ∴∠EAF=∠BAD=90°． ∵P是EF的中点， ∴PA=EF，PC=EF， ∴PA=PC．
又 AD=CD，PD公共， ∴△PAD≌△PCD，（SSS）
∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；
（2）作PH⊥CF于H点． ∵P是EF的中点， ∴PH=EC．
设EC=x．
由（1）知△EAF是等腰直角三角形， ∴∠AEF=45°， ∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°， ∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．
在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得 x1=﹣2﹣2∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4． ∴S△DPF=（﹣2+4）×
=
3﹣5．
（舍去），x2=﹣2+2．
10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F； （1）证明：EF=EA；
（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．
（1）证明： ∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE． ∵E为CD的中点， ∴ED=EC．
∴△ADE≌△FCE． ∴EF=EA．（5分）
（2）解：连接GA， ∵AD∥BC，∠ABC=90°， ∴∠DAB=90°． ∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD是矩形． ∴BG=AD，GA=BD． ∵BD=BC， ∴GA=BC．
由（1）得△ADE≌△FCE，
∴AD=FC．
∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA． ∵由（1）得EF=EA， ∴EG⊥AF．（5分）
11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形
ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF． （1）求证：EB=EF；
（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长． （1）证明：∵△ADF为等边三角形， ∴AF=AD，∠FAD=60°（1分） ∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分） ∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分） ∵AE为公共边
∴△FAE≌△BAE（4分） ∴EF=EB（5分）
（2）解：如图，连接EC．（6分） ∵在等边三角形△ADF中，
∴FD=FA，
∵∠EAD=∠EDA=15°， ∴ED=EA，
∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分） 由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°． ∵∠FAE=∠BAE=75°，
∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°， ∴BE=BA=6．
∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°， ∴∠GEB=30°， ∵∠ABC=60°， ∴∠GBE=30°
∴GE=GB．（8分） ∵点G是BC的中点， ∴EG=CG ∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°， ∴△CEG为等边三角形， ∴∠CEG=60°，
∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）
∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2 ∴CE=， ∴BC=（10分）；
解法二：过C作CQ⊥AB于Q， ∵CQ=AB=AD=6， ∵∠ABC=60°， ∴BC=6÷=4．
12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高． （1）求证：AE=GF；
（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积． （1）证明：∵AB=DC， ∴梯形ABCD为等腰梯形． ∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°， 又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°． ∴∠DBC=∠ADB=30°． ∴∠BDC=90°．（1分） 由已知AE⊥BD， ∴AE∥DC．（2分）
又∵AE为等腰三角形ABD的高， ∴E是BD的中点， ∵F是DC的中点， ∴EF∥BC． ∴EF∥AD．
∴四边形AEFD是平行四边形．（3分） ∴AE=DF（4分）
∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高， ∴GF=DF，（5分） ∴AE=GF．（6分）
（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°， ∵AE=1， ∴AD=2．
在Rt△DGC中∠C=60°， 并且DC=AD=2，
∴DG=．（8分）
由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2， 又∵DG⊥BC， ∴DG⊥EF，
∴四边形DEGF的面积=EF•DG=
．（10分）
13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．
（1）求证：FC=BE；
（2）若AD=DC=2，求AG的长． 解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F， ∴∠ABC=∠AFE．
∵AC=AE，∠EAF=∠CAB， ∴△ABC≌△AFE， ∴AB=AF．
∴AE﹣AB=AC﹣AF， 即FC=BE；
（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC， ∴AF=AC=AE．
∴AG=CG， ∴∠E=30°． ∵∠EAD=90°， ∴∠ADE=60°， ∴∠FAD=∠E=30°， ∴FC=， ∵AD∥BC，
∴∠ACG=∠FAD=30°， ∴CG=2， ∴AG=2．
14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF． （1）求证：AD=BE；
（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°， ∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠ABC=90°， ∵DE⊥EC，
∴∠AED+∠BEC=90° ∵∠AED+∠ADE=90°， ∴∠BEC=∠ADE，
∵∠DAE=∠EBC，AE=BC， ∴△EAD≌△EBC， ∴AD=BE．
（2）答：△ABF是等腰直角三角形．
理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM， ∴∠DAF=∠M，
∵∠AFD=∠CFM，DF=FC， ∴△ADF≌△MFC， ∴AD=CM， ∵AD=BE， ∴BE=CM， ∵AE=BC， ∴AB=BM，
∴△ABM是等腰直角三角形， ∵△ADF≌△MFC， ∴AF=FM， ∴∠ABC=90°， ∴BF⊥AM，BF=AM=AF，
∴△AFB是等腰直角三角形．
15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC． （1）求证：AD=AE；
（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．
解答：（1）证明：连接AC， ∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC， ∴∠ACD=∠ACB， ∵AD⊥DC，AE⊥BC， ∴∠D=∠AEC=90°， ∵AC=AC， ∴，
∴△ADC≌△AEC，（AAS） ∴AD=AE；
（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC， 设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8， 在Rt△ABE中∠AEB=90°，
由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2， 解得：x=10， ∴AB=10．
说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．
16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC． （1）求证：AE⊥BD；
（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．
（1）证明：∵AD∥CB， ∴∠ADB=∠CBD， 又BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形， 已知E是BD的中点， ∴AE⊥BD．
（2）解：延长AE交BC于G，
∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE=∠GBE， 又∵AE⊥BD（已证）， ∴∠AEB=∠GEB， BE=BE，
∴△ABE≌△GBE，
∴AE=GE，BG=AB=AD， 又F是AC的中点（已知）， 所以由三角形中位线定理得：
EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD） =×（14﹣4）=5． 答：EF的长为5．
17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；
（2）若AD=3，DC=4，求AE． （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC， ∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC， ∴△BCE≌△CAD． ∴CD=BE．
（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC=
=5，
∵△BCE≌△CAD， ∴CE=AD=3．
∴AE=AC﹣CE=2．
18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．
解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分） ∵AB⊥AC，
∴∠AED=∠BAC=90度． ∵AD∥BC， ∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度． 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC=
=
．（5分）
=
2（2分）
．（4分）
．∴CE=AC﹣AE=
19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且（1）求证：BF=EF﹣ED； （2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．
．
证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF\'=∠BCF+∠DCE=∠ECF， ∴△FCE≌△F′CE， ∴EF′=EF=DF′+ED， ∴BF=EF﹣ED；
（2）解：∵AB=BC，∠B=80°， ∴∠ACB=50°，
由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， ∴∠ECB=70°， 而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°， ∴∠BCF=30°，
∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．
20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF． （1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长． （2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．
解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB， ∴AM=BM=×6=3；
∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°， ∴四边形AMEF是矩形， ∴EF=AM=3； 在Rt△AFE中，AE==5；
（2）延长AF、BC交于点N． ∵AD∥EN， ∴∠DAF=∠N；
∵∠AFD=∠NFC，DF=FC， ∴△ADF≌△NCF（AAS）， ∴AD=CN； ∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°， 又AE=BE，∠B=∠BAE， ∴∠N=∠EAN，AE=EN， ∴BE=EN=EC+CN=EC+AD， ∴CE=BE﹣AD．
．
21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC． （1）求证：DH=（AD+BC）； （2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．
解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分） ∵AD∥BC，
∴四边形ACED为平行四边形．（2分） ∴CE=AD，DE=AC．
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴BD=AC=DE． ∵AC⊥BD， ∴DE⊥BD．
∴△DBE为等腰直角三角形．（4分） ∵DH⊥BC，
∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）
（2）∵AD=CE， ∴∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6， ∴．
．（7分）
∴梯形ABCD的面积为18．（8分）
注：此题解题方法并不唯一．
22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．
（1）求证：△AGE≌△DAB；
（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数． （1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC， ∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°， ∴△AGD是等边三角形， AG=GD=AD，∠AGD=60°．
∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB， ∵∠AGD=∠BAD，AG=AD， ∴△AGE≌△DAB；
（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG． ∵EF∥DB，DG∥BC，
∴四边形BFED是平行四边形． ∴EF=BD， ∴EF=AE．
∵∠DBC=∠DEF，
∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°． ∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．
23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．
（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；
（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：∵EF=EC， ∴∠EFC=∠ECF， ∵EF∥AB， ∴∠B=∠EFC，
∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；
（2）△DCF是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，
∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形）， ∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴CF=（BC﹣AD）=1， ∵DC=，
∴由勾股定理得：DF=1， ∴△DCF是等腰直角三角形；
（3）共四种情况： ∵DF⊥BC，
∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形， 即PF=1， ∴PB=1；
当P与F重合时，△PCD是等腰三角形， ∴PB=2；
当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形， ∴PB=3﹣；
当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形， ∴PB=3+．
故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）
24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．
（1）证明：△ABE≌△DAF； （2）求∠BPF的度数． 解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°， ∴AB=CD， ∵AD=DC，
∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°， ∵DE=CF， ∴AE=DF，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS）．
（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF， ∴∠ABE=∠DAF．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE． 而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°， ∴∠BPF=120°．
25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD． （1）求∠ABC的度数；
（2）如果BC=8，求△DBF的面积？
解答：解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD， ∴∠DBC=∠ABD，
∵在梯形ABCD中AB=DC， ∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC， ∵BD⊥DC，
∴∠DBC+2∠DBC=90° ∴∠DBC=30° ∴∠ABC=60°
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∵∠DBC=30°，BC=8， ∴DC=4，
∵CF=CD∴CF=4， ∴BF=12，
∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC ∴∠F=30°，
∵∠DBC=30°， ∴∠F=∠DBC， ∴DB=DF， ∴，
， 在直角三角形DBH中∴∴∴， ，
，
即△DBF的面积为．
26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．
（1）求证：△AGD为正三角形； （2）求EF的长度．
（1）证明：连接BE，
∵梯形ABCD中，AB=DC，
∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB， ∴∠GCB=∠GBC，
又∵∠BGC=∠AGD=60° ∴△AGD为等边三角形，
（2）解：∵BE为△BCG的中线， ∴BE⊥AC，
在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线， ∴EF=AB=5cm．
27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．
（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长． （2）求证：ED=BE+FC．
解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°， ∴∠ECB=15°， ∵∠ECD=45°， ∴∠DCF=60°，
在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3， ∴DF=3，DC=6，
由题得，四边形ABFD是矩形， ∴AB=DF=3， ∵AB=BC， ∴BC=3，
∴BF=BC﹣FC=3﹣3， ∴AD=DF=3﹣3， ∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3， 答：梯形ABCD的周长是9+3．
（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，
∴CN=CE，
可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD， ∴△DEC≌△DNC， ∴ED=EN， ∴ED=BE+FC．
28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F． （1）求证：△BCE≌△AFE；
（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．
（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点， ∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F． ∴△BCE≌△AFE（AAS）．
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=90°． ∵AE=BE，∠AEF=∠BEC， ∴△BCE≌△AFE． ∴AF=BC=4．
∵EF2=AF2+AE2=9+16=25， ∴EF=5．
29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
求证：
（1）△BFC≌△DFC； （2）AD=DE；
（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积． （1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF， ∴△DCF≌△BCF．
（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，
∴四边形ABGD为平行四边形． ∴AD=BG．
∵△DFC≌△BFC，
∴∠EDF=∠GBF，DF=BF． 又∵∠3=∠4，
∴△DFE≌△BFG． ∴DE=BG，EF=GF． ∴AD=DE．
（3）∵EF=GF，DF=BF，
∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG． ∵DG=AB， ∴BE=AB．
∵C△DFE=DF+FE+DE=6，
∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6． ∴AB+AD=6． 又∵AD=2， ∴AB=4． ∴DG=AB=4． ∵BG=AD=2，
∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．
又∵DC=BC=5，
在△DGC中∵42+32=52 ∴DG2+GC2=DC2 ∴∠DGC=90°． ∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG =（2+5）×4 =14．
30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E． （1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．
解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，
DE2=CD2+CE2=42+32=25，
∴∠OAD=∠OEB，
∴DE=5 又∵AB=AD，AO⊥BD，
∴AD=BE=5， ∴OB=OD，
∴S梯形ABCD=又∵∠AOD=∠EOB，
∴△ADO≌△EBO（AAS）， ∴AD=EB， 又∵AD∥BE，
∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=AD ∴四边形ABCD是菱形．
（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DE=BE，
．
